Номер 794, страница 191 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

794. Все плоские углы тетраэдра ОABC при вершине О прямые. Докажите, что проекция вершины О на плоскость ABC есть точка пересечения высот треугольника ABC.

Дано:

Тетраэдр $OABC$, у которого все плоские углы при вершине $O$ прямые. Это означает, что рёбра, выходящие из вершины $O$, попарно перпендикулярны: $OA \perp OB$, $OB \perp OC$, $OC \perp OA$.

Доказать:

Проекция вершины $O$ на плоскость $ABC$ является ортоцентром (точкой пересечения высот) треугольника $ABC$.

Доказательство:

Пусть $H$ — ортогональная проекция вершины $O$ на плоскость $ABC$. По определению проекции, отрезок $OH$ является перпендикуляром к плоскости $ABC$, то есть $OH \perp (ABC)$.

Чтобы доказать, что $H$ является ортоцентром треугольника $ABC$, нужно показать, что она является точкой пересечения его высот. Для этого достаточно доказать, что прямые, проходящие через $H$ и вершины треугольника, перпендикулярны противолежащим сторонам. Например, докажем, что $AH \perp BC$ и $CH \perp AB$.

1. Докажем, что $CH \perp AB$.

Из условия задачи имеем $OC \perp OA$ и $OC \perp OB$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости (если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости), прямая $OC$ перпендикулярна плоскости $OAB$.

Поскольку $OC \perp (OAB)$, то прямая $OC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, $OC \perp AB$.

Теперь рассмотрим плоскость $ABC$. Мы имеем:

• $OH$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$ (по построению).
• $OC$ — наклонная к плоскости $ABC$.
• $CH$ — проекция наклонной $OC$ на плоскость $ABC$.

Прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$. По теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная ($OC$) перпендикулярна прямой ($AB$), лежащей в плоскости, то и проекция этой наклонной ($CH$) перпендикулярна той же прямой. Так как мы установили, что $OC \perp AB$, то и $CH \perp AB$.

Следовательно, $CH$ является высотой треугольника $ABC$, проведённой из вершины $C$.

2. Докажем, что $AH \perp BC$.

Аналогично, из условия $OA \perp OB$ и $OA \perp OC$ следует, что прямая $OA$ перпендикулярна плоскости $OBC$.

Следовательно, $OA$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, $OA \perp BC$.

Рассмотрим наклонную $OA$ к плоскости $ABC$, её перпендикуляр $OH$ и её проекцию $AH$. Так как наклонная $OA$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости $ABC$, то по теореме о трёх перпендикулярах и её проекция $AH$ перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $AH \perp BC$.

Следовательно, $AH$ является высотой треугольника $ABC$, проведённой из вершины $A$.

Поскольку точка $H$ является точкой пересечения двух высот ($CH$ и $AH$) треугольника $ABC$, она является ортоцентром этого треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Проекция вершины $O$ на плоскость $ABC$ является точкой пересечения высот (ортоцентром) треугольника $ABC$.