Номер 799, страница 192 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

799. Какому условию должны удовлетворять радиусы трёх шаров, попарно касающихся друг друга, чтобы к ним можно было провести общую касательную плоскость?

Пусть даны три шара с центрами $O_1, O_2, O_3$ и радиусами $r_1, r_2, r_3$ соответственно. По условию, шары попарно касаются друг друга. Это означает, что расстояние между центрами любых двух шаров равно сумме их радиусов: $d(O_1, O_2) = r_1 + r_2$, $d(O_2, O_3) = r_2 + r_3$ и $d(O_3, O_1) = r_3 + r_1$. Центры шаров $O_1, O_2, O_3$ образуют вершины треугольника.

Предположим, что существует общая касательная плоскость $\Pi$ для этих трёх шаров. Поскольку плоскость $\Pi$ касается каждого шара, расстояние от центра $O_i$ до плоскости $\Pi$ равно радиусу $r_i$. Обозначим точки касания шаров с плоскостью $\Pi$ как $P_1, P_2, P_3$. Точка $P_i$ является ортогональной проекцией центра $O_i$ на плоскость $\Pi$. Таким образом, $d(O_i, \Pi) = d(O_i, P_i) = r_i$. Все центры $O_1, O_2, O_3$ должны находиться по одну сторону от плоскости $\Pi$.

Рассмотрим пространственную фигуру, образованную точками $O_1, O_2, P_2, P_1$. В общем случае это прямоугольная трапеция, лежащая в плоскости, перпендикулярной к $\Pi$. Основаниями трапеции являются отрезки $O_1P_1$ и $O_2P_2$, перпендикулярные к $\Pi$, их длины равны $r_1$ и $r_2$. Боковая сторона $O_1O_2$ имеет длину $r_1 + r_2$. Другая боковая сторона $P_1P_2$ лежит в плоскости $\Pi$ и является расстоянием между точками касания.

Чтобы найти длину $P_1P_2$, проведём из одного из центров (например, $O_1$) отрезок, параллельный $P_1P_2$, до пересечения с продолжением отрезка $O_2P_2$ в точке $H$. Получим прямоугольный треугольник $O_1HO_2$, в котором гипотенуза $O_1O_2 = r_1 + r_2$, один катет $O_2H = |r_2 - r_1|$, а второй катет $O_1H$ равен искомому расстоянию $d(P_1, P_2)$. По теореме Пифагора:

$(d(P_1, P_2))^2 = (d(O_1, O_2))^2 - (O_2H)^2 = (r_1 + r_2)^2 - (r_2 - r_1)^2$

Раскрывая скобки, получаем:

$(d(P_1, P_2))^2 = (r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2) - (r_2^2 - 2r_1r_2 + r_1^2) = 4r_1r_2$

Следовательно, расстояние между точками касания $P_1$ и $P_2$ равно:

$d(P_1, P_2) = \sqrt{4r_1r_2} = 2\sqrt{r_1r_2}$

Аналогично находим расстояния между другими парами точек касания:

$d(P_2, P_3) = 2\sqrt{r_2r_3}$

$d(P_3, P_1) = 2\sqrt{r_3r_1}$

Точки касания $P_1, P_2, P_3$ лежат в одной плоскости $\Pi$ и образуют треугольник (возможно, вырожденный, если точки лежат на одной прямой). Для существования такого треугольника необходимо и достаточно, чтобы длины его сторон удовлетворяли неравенству треугольника. То есть, сумма длин любых двух сторон должна быть не меньше длины третьей стороны:

$2\sqrt{r_1r_2} + 2\sqrt{r_2r_3} \ge 2\sqrt{r_3r_1}$

$2\sqrt{r_2r_3} + 2\sqrt{r_3r_1} \ge 2\sqrt{r_1r_2}$

$2\sqrt{r_3r_1} + 2\sqrt{r_1r_2} \ge 2\sqrt{r_2r_3}$

Сократив на 2 и разделив каждое неравенство на положительную величину $\sqrt{r_1r_2r_3}$, получим эквивалентную, но более простую систему неравенств:

$1/\sqrt{r_3} + 1/\sqrt{r_1} \ge 1/\sqrt{r_2}$

$1/\sqrt{r_1} + 1/\sqrt{r_2} \ge 1/\sqrt{r_3}$

$1/\sqrt{r_2} + 1/\sqrt{r_3} \ge 1/\sqrt{r_1}$

Эти неравенства означают, что величины $1/\sqrt{r_1}$, $1/\sqrt{r_2}$ и $1/\sqrt{r_3}$ должны удовлетворять неравенству треугольника.

Ответ: Величины, обратные квадратным корням из радиусов, должны удовлетворять неравенству треугольника. То есть, для радиусов $r_1, r_2, r_3$ должно выполняться условие: сумма любых двух из величин $1/\sqrt{r_1}, 1/\sqrt{r_2}, 1/\sqrt{r_3}$ должна быть больше или равна третьей величине.