Номер 803, страница 192 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

803. Докажите, что объём тетраэдра равен 16abc sin φ, где а и b — противоположные рёбра, а φ и с — соответственно угол и расстояние между ними.

Для доказательства воспользуемся методами векторной алгебры.

Пусть в тетраэдре выбраны два противоположных (скрещивающихся) ребра. Обозначим векторы, соответствующие этим рёбрам, как $\vec{p}$ и $\vec{q}$. Согласно условию задачи:

• $a = |\vec{p}|$ и $b = |\vec{q}|$ — длины этих рёбер.
• $\varphi$ — угол между прямыми, содержащими эти рёбра (т.е. угол между направлениями векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$).
• $c$ — кратчайшее расстояние между этими прямыми.

Объём тетраэдра $V$ может быть выражен через смешанное произведение векторов, представляющих два противоположных ребра ($\vec{p}$, $\vec{q}$) и вектор $\vec{d}$, соединяющий какие-либо две точки на этих рёбрах (например, их начала). Формула для объёма имеет вид:

$V = \frac{1}{6} |(\vec{p} \times \vec{q}) \cdot \vec{d}|$

Рассмотрим модуль смешанного произведения в этой формуле.

Вектор $\vec{n} = \vec{p} \times \vec{q}$ по определению векторного произведения перпендикулярен как вектору $\vec{p}$, так и вектору $\vec{q}$. Следовательно, он задаёт направление общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым, на которых лежат рёбра.

Модуль этого вектора равен:

$|\vec{n}| = |\vec{p} \times \vec{q}| = |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \cdot \sin\varphi = ab\sin\varphi$

Теперь рассмотрим скалярное произведение $(\vec{p} \times \vec{q}) \cdot \vec{d} = \vec{n} \cdot \vec{d}$. Его модуль можно записать как:

$|\vec{n} \cdot \vec{d}| = |\vec{n}| \cdot |\vec{d}| \cdot |\cos\theta|$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{n}$ и $\vec{d}$.

Величина $|\vec{d}| \cdot |\cos\theta|$ представляет собой модуль проекции вектора $\vec{d}$ на направление вектора $\vec{n}$. Так как вектор $\vec{d}$ соединяет точки на двух скрещивающихся прямых, а вектор $\vec{n}$ задаёт направление общего перпендикуляра к ним, то модуль этой проекции есть в точности кратчайшее расстояние $c$ между этими прямыми.

$c = |\vec{d}| \cdot |\cos\theta| = |\text{пр}_{\vec{n}}\vec{d}|$

Таким образом, мы можем выразить модуль смешанного произведения:

$|(\vec{p} \times \vec{q}) \cdot \vec{d}| = |\vec{n}| \cdot c = (ab\sin\varphi) \cdot c = abc\sin\varphi$

Подставим это выражение в формулу для объёма тетраэдра:

$V = \frac{1}{6} (abc\sin\varphi)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Объем тетраэдра, выраженный через длины $a$ и $b$ двух противоположных рёбер, расстояние $c$ и угол $\varphi$ между ними, действительно равен $V = \frac{1}{6} abc\sin\varphi$.