Номер 798, страница 192 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

798. В тетраэдр с высотами h₁, h₂, h₃, h₄ вписан шар радиуса R. Докажите, что

Обозначим объем тетраэдра как $V$. Пусть $S_1, S_2, S_3, S_4$ — это площади четырех граней тетраэдра, а $h_1, h_2, h_3, h_4$ — соответствующие высоты, опущенные на эти грани из противоположных вершин.

Объем тетраэдра можно выразить через площадь любой его грани и соответствующую высоту по формуле объема пирамиды: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h$. Применяя эту формулу для каждой из четырех граней, получаем:

$V = \frac{1}{3} S_1 h_1 = \frac{1}{3} S_2 h_2 = \frac{1}{3} S_3 h_3 = \frac{1}{3} S_4 h_4$

Из этих соотношений можно выразить площади граней через объем и высоты:

$S_1 = \frac{3V}{h_1}, \quad S_2 = \frac{3V}{h_2}, \quad S_3 = \frac{3V}{h_3}, \quad S_4 = \frac{3V}{h_4}$

С другой стороны, рассмотрим вписанный в тетраэдр шар радиуса $R$. Центр этого шара равноудален от всех четырех граней тетраэдра на расстояние $R$. Если соединить центр вписанного шара с вершинами тетраэдра, то исходный тетраэдр разобьется на четыре меньших тетраэдра. Основаниями этих тетраэдров будут грани исходного тетраэдра, а высотами, опущенными на эти основания из общей вершины (центра шара), будет радиус вписанного шара $R$.

Объем исходного тетраэдра равен сумме объемов этих четырех тетраэдров:

$V = \frac{1}{3} S_1 R + \frac{1}{3} S_2 R + \frac{1}{3} S_3 R + \frac{1}{3} S_4 R$

Вынеся общий множитель $\frac{1}{3}R$ за скобки, получим:

$V = \frac{1}{3} R (S_1 + S_2 + S_3 + S_4)$

Теперь подставим в это уравнение ранее найденные выражения для площадей граней $S_1, S_2, S_3, S_4$:

$V = \frac{1}{3} R \left( \frac{3V}{h_1} + \frac{3V}{h_2} + \frac{3V}{h_3} + \frac{3V}{h_4} \right)$

Можно вынести общий множитель $3V$ из скобок:

$V = \frac{1}{3} R \cdot 3V \left( \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4} \right)$

Упростим выражение:

$V = R \cdot V \left( \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4} \right)$

Так как объем тетраэдра $V$ является положительной величиной ($V > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $V$:

$1 = R \left( \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4} \right)$

Разделив обе части на $R$ (так как $R > 0$), получим искомое соотношение:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4}$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что для тетраэдра с высотами $h_1, h_2, h_3, h_4$ и радиусом вписанного шара $R$ выполняется равенство $\frac{1}{R} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4}$.