Номер 795, страница 192 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

795. Из точки сферы проведены три попарно перпендикулярные хорды. Докажите, что сумма их квадратов не зависит от положения этих хорд.

Для доказательства используем метод координат. Пусть центр сферы радиуса $R$ находится в начале координат $O(0, 0, 0)$. Тогда уравнение сферы имеет вид $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$.

Пусть $P$ — произвольная точка на сфере, из которой проведены три попарно перпендикулярные хорды $PA$, $PB$ и $PC$. Обозначим длины этих хорд как $a, b, c$ соответственно. Мы должны доказать, что сумма их квадратов, $a^2 + b^2 + c^2$, является постоянной величиной.

Обозначим радиус-вектор точки $P$ как $\vec{r}_P$. Поскольку точка $P$ лежит на сфере, квадрат длины ее радиус-вектора равен квадрату радиуса сферы: $|\vec{r}_P|^2 = R^2$.

Пусть $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$ — единичные векторы (орты), направления которых совпадают с направлениями хорд $PA$, $PB$ и $PC$ соответственно. Так как хорды попарно перпендикулярны, эти векторы образуют ортонормированный базис, то есть они попарно ортогональны и их длины равны единице.

Векторы, соответствующие хордам, можно представить в следующем виде:$\vec{PA} = a \cdot \vec{e}_1$$\vec{PB} = b \cdot \vec{e}_2$$\vec{PC} = c \cdot \vec{e}_3$

Точки $A$, $B$ и $C$, являющиеся концами хорд, также лежат на сфере. Их радиус-векторы можно выразить через радиус-вектор точки $P$ и векторы хорд:$\vec{OA} = \vec{OP} + \vec{PA} = \vec{r}_P + a \vec{e}_1$$\vec{OB} = \vec{OP} + \vec{PB} = \vec{r}_P + b \vec{e}_2$$\vec{OC} = \vec{OP} + \vec{PC} = \vec{r}_P + c \vec{e}_3$

Поскольку точка $A$ лежит на сфере, квадрат длины ее радиус-вектора равен $R^2$. Запишем это условие через скалярное произведение:$|\vec{OA}|^2 = (\vec{r}_P + a \vec{e}_1) \cdot (\vec{r}_P + a \vec{e}_1) = R^2$Раскроем скалярное произведение:$|\vec{r}_P|^2 + 2a(\vec{r}_P \cdot \vec{e}_1) + a^2|\vec{e}_1|^2 = R^2$

Мы знаем, что $|\vec{r}_P|^2 = R^2$ (так как $P$ на сфере) и $|\vec{e}_1|^2 = 1$ (так как $\vec{e}_1$ — единичный вектор). Подставив эти значения, получим:$R^2 + 2a(\vec{r}_P \cdot \vec{e}_1) + a^2 = R^2$$a^2 + 2a(\vec{r}_P \cdot \vec{e}_1) = 0$Поскольку $a$ — это длина хорды, $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:$a + 2(\vec{r}_P \cdot \vec{e}_1) = 0$, откуда $a = -2(\vec{r}_P \cdot \vec{e}_1)$.

Проведя аналогичные рассуждения для точек $B$ и $C$, получим выражения для длин хорд $b$ и $c$:$b = -2(\vec{r}_P \cdot \vec{e}_2)$$c = -2(\vec{r}_P \cdot \vec{e}_3)$

Теперь найдем сумму квадратов длин хорд:$a^2 + b^2 + c^2 = (-2(\vec{r}_P \cdot \vec{e}_1))^2 + (-2(\vec{r}_P \cdot \vec{e}_2))^2 + (-2(\vec{r}_P \cdot \vec{e}_3))^2$$a^2 + b^2 + c^2 = 4 [(\vec{r}_P \cdot \vec{e}_1)^2 + (\vec{r}_P \cdot \vec{e}_2)^2 + (\vec{r}_P \cdot \vec{e}_3)^2]$

Выражение в квадратных скобках представляет собой сумму квадратов проекций вектора $\vec{r}_P$ на оси ортонормированного базиса $\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\}$. Эта сумма равна квадрату длины (модуля) самого вектора $\vec{r}_P$:$(\vec{r}_P \cdot \vec{e}_1)^2 + (\vec{r}_P \cdot \vec{e}_2)^2 + (\vec{r}_P \cdot \vec{e}_3)^2 = |\vec{r}_P|^2$

Подставляя это в наше выражение для суммы квадратов, получаем:$a^2 + b^2 + c^2 = 4 |\vec{r}_P|^2$

Используя условие, что $|\vec{r}_P|^2 = R^2$, мы приходим к окончательному результату:$a^2 + b^2 + c^2 = 4R^2$

Полученная величина $4R^2$ зависит только от радиуса сферы $R$ и является константой. Она не зависит ни от положения точки $P$ на сфере, ни от ориентации попарно перпендикулярных хорд, проведенных из этой точки. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма квадратов длин трех попарно перпендикулярных хорд, проведенных из одной точки сферы, равна $4R^2$, где $R$ — радиус сферы. Следовательно, эта сумма не зависит от положения хорд.