Номер 801, страница 192 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

801. На плоскости лежат три шара радиуса R, попарно касающиеся друг друга. Основание конуса лежит в указанной плоскости, а данные шары касаются его извне. Высота конуса равна λR. Найдите радиус его основания.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть основание конуса лежит в плоскости $z=0$, а ось конуса совпадает с осью $Oz$. Тогда вершина конуса находится в точке $V(0, 0, H)$, где высота $H = \lambda R$.

Три шара радиуса $R$ лежат на плоскости $z=0$ и касаются друг друга. Их центры $C_1, C_2, C_3$ находятся на высоте $R$ от плоскости и образуют в пространстве равносторонний треугольник со стороной $2R$. Проекции этих центров на плоскость $z=0$ также образуют равносторонний треугольник со стороной $2R$. Центр основания конуса, в силу симметрии, совпадает с центром этого треугольника (точкой пересечения медиан).

Найдем расстояние от центра основания конуса (начала координат $O$) до проекции центра одного из шаров. Это расстояние равно радиусу описанной окружности равностороннего треугольника со стороной $a=2R$.$d = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Рассмотрим осевое сечение системы, проходящее через ось конуса и центр одного из шаров, например $C_1$. В этом сечении конус представляет собой равнобедренный треугольник, а шар — окружность радиуса $R$. Координаты центра этой окружности $C_1$ будут $(d, R)$, то есть $(\frac{2R}{\sqrt{3}}, R)$.

Образующая конуса в этом сечении является прямой, касательной к окружности. Пусть радиус основания конуса равен $r_c$. Тогда образующая проходит через точки $P(r_c, 0)$ и $V(0, H)$. Уравнение этой прямой имеет вид:$\frac{x}{r_c} + \frac{z}{H} = 1$, или $Hx + r_c z - H r_c = 0$.

Условие касания заключается в том, что расстояние от центра окружности $C_1(\frac{2R}{\sqrt{3}}, R)$ до этой прямой равно радиусу шара $R$. Используем формулу расстояния от точки до прямой:$D = \frac{|A x_0 + B z_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.В нашем случае $A=H, B=r_c, C=-Hr_c, x_0 = \frac{2R}{\sqrt{3}}, z_0 = R$.$R = \frac{|H \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} + r_c \cdot R - H r_c|}{\sqrt{H^2+r_c^2}}$.

Так как шары касаются конуса извне, их центры должны находиться с той стороны от образующей, которая является внешней для конуса. Это означает, что выражение в числителе должно быть положительным.$R \sqrt{H^2+r_c^2} = H \frac{2R}{\sqrt{3}} + r_c R - H r_c$.Подставим $H=\lambda R$ и разделим обе части на $R$ (считая $R>0$):$\sqrt{(\lambda R)^2+r_c^2} = \lambda R \frac{2}{\sqrt{3}} + r_c - \lambda r_c$.$\sqrt{\lambda^2 R^2+r_c^2} = \frac{2\lambda R}{\sqrt{3}} + r_c(1-\lambda)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:$\lambda^2 R^2+r_c^2 = \left(\frac{2\lambda R}{\sqrt{3}} + r_c(1-\lambda)\right)^2$$\lambda^2 R^2+r_c^2 = \frac{4\lambda^2 R^2}{3} + \frac{4\lambda R(1-\lambda)}{\sqrt{3}} r_c + r_c^2(1-\lambda)^2$$\lambda^2 R^2+r_c^2 = \frac{4\lambda^2 R^2}{3} + \frac{4\lambda R(1-\lambda)}{\sqrt{3}} r_c + r_c^2(1-2\lambda+\lambda^2)$.Сократим $r_c^2$ и перегруппируем члены, чтобы получить квадратное уравнение относительно $r_c$:$r_c^2(2\lambda - \lambda^2) - r_c \frac{4\lambda R(1-\lambda)}{\sqrt{3}} + \left(\lambda^2 R^2 - \frac{4\lambda^2 R^2}{3}\right) = 0$$r_c^2 \lambda(2 - \lambda) - r_c \frac{4\lambda R(1-\lambda)}{\sqrt{3}} - \frac{\lambda^2 R^2}{3} = 0$.

При $\lambda \neq 0$, можно разделить уравнение на $\lambda$:$r_c^2 (2 - \lambda) - r_c \frac{4R(1-\lambda)}{\sqrt{3}} - \frac{\lambda R^2}{3} = 0$.Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ для $r_c$ с коэффициентами:$a = 2-\lambda$$b = -\frac{4R(1-\lambda)}{\sqrt{3}}$$c = -\frac{\lambda R^2}{3}$

Найдем дискриминант $D = b^2-4ac$:$D = \left(-\frac{4R(1-\lambda)}{\sqrt{3}}\right)^2 - 4(2-\lambda)\left(-\frac{\lambda R^2}{3}\right)$$D = \frac{16R^2(1-\lambda)^2}{3} + \frac{4R^2\lambda(2-\lambda)}{3} = \frac{4R^2}{3}[4(1-2\lambda+\lambda^2) + 2\lambda-\lambda^2]$$D = \frac{4R^2}{3}[4 - 8\lambda + 4\lambda^2 + 2\lambda - \lambda^2] = \frac{4R^2}{3}(3\lambda^2 - 6\lambda + 4)$.

Решения для $r_c$:$r_c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{\frac{4R(1-\lambda)}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{4R^2}{3}(3\lambda^2 - 6\lambda + 4)}}{2(2-\lambda)}$$r_c = \frac{\frac{4R(1-\lambda)}{\sqrt{3}} \pm \frac{2R}{\sqrt{3}}\sqrt{3\lambda^2 - 6\lambda + 4}}{2(2-\lambda)} = \frac{2R(1-\lambda) \pm R\sqrt{3\lambda^2 - 6\lambda + 4}}{\sqrt{3}(2-\lambda)}$.

Чтобы выбрать правильный знак, рассмотрим случай $\lambda=1$ (высота конуса равна радиусу шара). Уравнение для $r_c$ упрощается до $r_c^2 - R^2/3 = 0$, откуда $r_c = R/\sqrt{3}$.Подставив $\lambda=1$ в решение, получим:$r_c = \frac{0 \pm R\sqrt{3-6+4}}{\sqrt{3}(1)} = \frac{\pm R}{\sqrt{3}}$.Так как радиус должен быть положительным, $r_c = R/\sqrt{3}$. Это соответствует знаку «+» в общем решении.Таким образом, для $\lambda \neq 2$:$r_c = \frac{2R(1-\lambda) + R\sqrt{3\lambda^2 - 6\lambda + 4}}{\sqrt{3}(2-\lambda)}$.

В случае, когда $\lambda=2$, коэффициент при $r_c^2$ обращается в ноль, и уравнение становится линейным:$0 - r_c \frac{4R(1-2)}{\sqrt{3}} - \frac{2 R^2}{3} = 0 \implies r_c \frac{4R}{\sqrt{3}} = \frac{2R^2}{3} \implies r_c = \frac{2R^2}{3} \frac{\sqrt{3}}{4R} = \frac{R\sqrt{3}}{6}$.Этот же результат можно получить, вычислив предел общего выражения при $\lambda \to 2$.

Ответ: Радиус основания конуса $r_c$ равен:
при $\lambda \neq 2$: $r_c = R \frac{2(1-\lambda) + \sqrt{3\lambda^2 - 6\lambda + 4}}{\sqrt{3}(2-\lambda)}$
при $\lambda = 2$: $r_c = \frac{R\sqrt{3}}{6}$