Номер 807, страница 192 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 3. Движения, дополнительные задачи. Глава 7. Метод координат в пространстве. Движения - номер 807, страница 192.

Условие.

807. Точки Е и F — середины рёбер DC и ВВ₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 см. Найдите объём тетраэдра AD₁EF.

Решение 2.

Решение 6.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введём прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$ куба. Направим оси координат вдоль рёбер куба: ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$.

Так как длина ребра куба составляет 1 см, мы можем определить координаты вершин тетраэдра $AD_1EF$:

• Вершина $A$ находится на оси $Ox$ на расстоянии 1 от начала координат. Её координаты: $A(1; 0; 0)$.
• Вершина $D_1$ находится на оси $Oz$ на расстоянии 1 от начала координат. Её координаты: $D_1(0; 0; 1)$.
• Точка $E$ является серединой ребра $DC$. Координаты вершин $D$ и $C$ равны $D(0; 0; 0)$ и $C(0; 1; 0)$. Координаты точки $E$: $E(\frac{0+0}{2}; \frac{0+1}{2}; \frac{0+0}{2}) = E(0; \frac{1}{2}; 0)$.
• Точка $F$ является серединой ребра $BB_1$. Координаты вершин $B$ и $B_1$ равны $B(1; 1; 0)$ и $B_1(1; 1; 1)$. Координаты точки $F$: $F(\frac{1+1}{2}; \frac{1+1}{2}; \frac{0+1}{2}) = F(1; 1; \frac{1}{2})$.

Объём тетраэдра, заданного координатами своих вершин, можно вычислить с помощью смешанного произведения векторов, исходящих из одной из его вершин. Объём $V$ равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов $\vec{AD_1}$, $\vec{AE}$ и $\vec{AF}$:
$V = \frac{1}{6} |(\vec{AD_1} \times \vec{AE}) \cdot \vec{AF}|$

Найдём координаты векторов, исходящих из вершины $A$:
$\vec{AD_1} = (0-1; 0-0; 1-0) = (-1; 0; 1)$
$\vec{AE} = (0-1; \frac{1}{2}-0; 0-0) = (-1; \frac{1}{2}; 0)$
$\vec{AF} = (1-1; 1-0; \frac{1}{2}-0) = (0; 1; \frac{1}{2})$

Смешанное произведение этих векторов вычисляется как определитель матрицы, строки которой являются координатами векторов:
$(\vec{AD_1} \times \vec{AE}) \cdot \vec{AF} = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{vmatrix}$

Вычислим определитель, разложив его по первой строке:
$\det = -1 \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 0 \cdot 1) - 0 \cdot ((-1) \cdot \frac{1}{2} - 0 \cdot 0) + 1 \cdot ((-1) \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0)$
$= -1 \cdot (\frac{1}{4}) - 0 + 1 \cdot (-1) = -\frac{1}{4} - 1 = -\frac{5}{4}$

Теперь можем найти объём тетраэдра:
$V = \frac{1}{6} \left|-\frac{5}{4}\right| = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{24}$

Ответ: объём тетраэдра $AD_1EF$ равен $\frac{5}{24}$ см³.