Номер 812, страница 193 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

812. Правильная четырёхугольная пирамида, у которой сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен α, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объём полученного тела вращения.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Сторона основания $AB = BC = CD = DA = a$. Плоский угол при вершине боковой грани равен $\alpha$, например, $\angle BSC = \alpha$.

Тело вращения образуется при вращении пирамиды вокруг прямой $l$, проходящей через вершину $S$ параллельно стороне основания. Пусть ось вращения $l$ параллельна сторонам $BC$ и $AD$.

Объем полученного тела вращения можно найти как объем тела, образованного вращением треугольного сечения пирамиды, проходящего через высоту и перпендикулярного оси вращения. В нашем случае, поскольку ось $l$ параллельна $BC$, таким сечением является равнобедренный треугольник $SMN$, где $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно. Основание этого треугольника $MN = AB = a$, а высота $SO=H$ является высотой пирамиды.

Ось вращения $l$ проходит через вершину $S$ этого треугольника и параллельна его основанию $MN$. Таким образом, задача сводится к нахождению объема тела, полученного вращением треугольника $SMN$ вокруг прямой, проходящей через его вершину $S$ параллельно основанию $MN$.

Рассмотрим боковую грань, например, треугольник $SBC$. Это равнобедренный треугольник с $SB = SC$ и основанием $BC=a$. Угол при вершине $\angle BSC = \alpha$. Проведем в нем высоту (а также медиану и биссектрису) $SM$ к основанию $BC$. $M$ — середина $BC$, поэтому $BM = a/2$. Треугольник $SBM$ — прямоугольный, и $\angle BSM = \alpha/2$.

Апофема пирамиды $L = SM$ находится из треугольника $SBM$:$L = SM = BM \cdot \cot(\angle BSM) = \frac{a}{2} \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$, где $S$ — вершина пирамиды, $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата), $M$ — середина стороны $BC$. Катет $SO$ — это высота пирамиды $H$, катет $OM$ равен половине стороны основания, то есть $OM = a/2$. Гипотенуза $SM$ — это апофема $L$.

По теореме Пифагора для треугольника $SOM$:$H^2 = SO^2 = SM^2 - OM^2 = L^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$$H^2 = \left(\frac{a}{2} \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4} \left(\cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 1\right)$.

Для существования пирамиды необходимо, чтобы высота была действительным числом, то есть $H^2 > 0$, что означает $\cot^2(\alpha/2) > 1$, или $\alpha < \pi/2$. Это условие выполняется, так как сумма плоских углов при вершине пирамиды $4\alpha$ должна быть меньше $2\pi$.

Объем тела вращения, полученного вращением треугольника $SMN$ вокруг оси $l$, проходящей через вершину $S$ параллельно основанию $MN$, можно вычислить с помощью второй теоремы Паппа-Гульдина: $V = 2\pi R A$, где $A$ — площадь вращаемой фигуры, а $R$ — расстояние от ее центра масс (центроида) до оси вращения.

Площадь треугольника $SMN$:$A = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot SO = \frac{1}{2} a H$.

Центр масс треугольника $SMN$ находится на его медиане (в данном случае высоте) $SO$ на расстоянии $2/3$ от вершины $S$ или $1/3$ от основания $MN$. Расстояние от центра масс до оси вращения $l$ (которая проходит через $S$) равно:$R = \frac{2}{3} SO = \frac{2}{3} H$.

Теперь можем вычислить объем тела вращения:$V = 2\pi \cdot R \cdot A = 2\pi \cdot \left(\frac{2}{3} H\right) \cdot \left(\frac{1}{2} a H\right) = \frac{2}{3} \pi a H^2$.

Подставим найденное ранее выражение для $H^2$:$V = \frac{2}{3} \pi a \left[ \frac{a^2}{4} \left(\cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 1\right) \right]$.

Упростим выражение:$V = \frac{\pi a^3}{6} \left(\cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 1\right)$.

Используя тригонометрическую формулу $\cot^2(x) - 1 = \frac{\cos^2(x) - \sin^2(x)}{\sin^2(x)} = \frac{\cos(2x)}{\sin^2(x)}$, можно записать ответ в другом виде:$V = \frac{\pi a^3}{6} \frac{\cos(\alpha)}{\sin^2(\alpha/2)}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3}{6} \left(\cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 1\right)$.