Номер 810, страница 193 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 3. Движения, дополнительные задачи. Глава 7. Метод координат в пространстве. Движения - номер 810, страница 193.

Условие.

810. Вокруг данного шара описан конус с углом α при вершине осевого сечения. При каком значении α конус имеет наименьший объём?

Решение 2.

Решение 6.

Пусть $r$ — радиус данного шара, который является постоянной величиной. Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник, описанный вокруг большой окружности шара. Пусть $H$ — высота конуса, $R$ — радиус его основания, а $\alpha$ — угол при вершине осевого сечения.

Свяжем размеры конуса $H$ и $R$ с радиусом шара $r$ и углом $\alpha$. В осевом сечении мы имеем равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при вершине, в который вписана окружность радиуса $r$. Центр окружности лежит на высоте треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, его образующей и радиусом основания $R$. Половина угла при вершине равна $\alpha/2$. Из этого треугольника имеем:$R = H \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь рассмотрим другой прямоугольный треугольник, образованный отрезком от вершины конуса до центра шара, радиусом шара, проведенным в точку касания с образующей, и частью образующей. В этом треугольнике гипотенуза — это расстояние от вершины конуса до центра шара, а катет, противолежащий углу $\alpha/2$, — это радиус шара $r$. Расстояние от вершины конуса до центра шара равно $\frac{r}{\sin(\alpha/2)}$.

Высота конуса $H$ складывается из этого расстояния и радиуса шара $r$:$H = \frac{r}{\sin(\alpha/2)} + r = r \left( \frac{1}{\sin(\alpha/2)} + 1 \right) = r \frac{1+\sin(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)}$.

Теперь выразим радиус основания $R$ через $r$ и $\alpha$:$R = H \tan(\frac{\alpha}{2}) = r \frac{1+\sin(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} \cdot \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = r \frac{1+\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}$.

Объем конуса $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Подставим полученные выражения для $R$ и $H$:$V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi \left( r \frac{1+\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} \right)^2 \left( r \frac{1+\sin(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} \right)$$V(\alpha) = \frac{\pi r^3}{3} \frac{(1+\sin(\alpha/2))^2}{\cos^2(\alpha/2)} \frac{1+\sin(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} = \frac{\pi r^3}{3} \frac{(1+\sin(\alpha/2))^3}{\cos^2(\alpha/2)\sin(\alpha/2)}$.

Используем тригонометрическое тождество $\cos^2(\alpha/2) = 1 - \sin^2(\alpha/2) = (1-\sin(\alpha/2))(1+\sin(\alpha/2))$:$V(\alpha) = \frac{\pi r^3}{3} \frac{(1+\sin(\alpha/2))^3}{(1-\sin(\alpha/2))(1+\sin(\alpha/2))\sin(\alpha/2)} = \frac{\pi r^3}{3} \frac{(1+\sin(\alpha/2))^2}{(1-\sin(\alpha/2))\sin(\alpha/2)}$.

Для нахождения наименьшего объема нужно найти минимум этой функции. Так как $r$ — константа, нам нужно минимизировать выражение, зависящее от $\alpha$. Сделаем замену $x = \sin(\alpha/2)$. Поскольку $0 < \alpha < \pi$, то $0 < \alpha/2 < \pi/2$, и следовательно $0 < x < 1$.Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{(1+x)^2}{x(1-x)} = \frac{1+2x+x^2}{x-x^2}$.

Найдем производную $f'(x)$ и приравняем ее к нулю:$f'(x) = \frac{(2+2x)(x-x^2) - (1+2x+x^2)(1-2x)}{(x-x^2)^2} = 0$.Знаменатель не равен нулю при $x \in (0,1)$, поэтому приравняем к нулю числитель:$(2+2x)(x-x^2) - (1+2x+x^2)(1-2x) = 0$$2x-2x^2+2x^2-2x^3 - (1-2x+2x-4x^2+x^2-2x^3) = 0$$2x-2x^3 - (1-3x^2-2x^3) = 0$$2x-2x^3 - 1+3x^2+2x^3 = 0$$3x^2+2x-1 = 0$.

Решим квадратное уравнение относительно $x$:$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}$.$x_1 = \frac{-2+4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.$x_2 = \frac{-2-4}{6} = -1$.

Поскольку $x = \sin(\alpha/2)$ и $x \in (0,1)$, нам подходит только корень $x = 1/3$.Проверим знак производной. Функция $3x^2+2x-1$ является параболой с ветвями вверх, она отрицательна между корнями $(-1, 1/3)$ и положительна вне этого интервала. Таким образом, при переходе через точку $x=1/3$ производная меняет знак с минуса на плюс. Это означает, что в этой точке достигается минимум функции.

Итак, объем конуса минимален, когда $\sin(\alpha/2) = 1/3$.Отсюда находим $\alpha$:$\frac{\alpha}{2} = \arcsin(1/3)$,$\alpha = 2\arcsin(1/3)$.

Ответ: Конус имеет наименьший объем при значении угла $\alpha = 2\arcsin(1/3)$.