Номер 815, страница 193 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении 2 : 1, считая от вершины, лежат на одной сфере, центр которой расположен на прямой Эйлера (сфера Эйлера).

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть $A, B, C, D$ — вершины тетраэдра. Тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим. Обозначим эту точку пересечения высот (ортоцентр) как $H$.

Введём следующие обозначения для ключевых точек тетраэдра:

• $O$ — центр описанной сферы (сферы, проходящей через вершины $A, B, C, D$).
• $G$ — центроид тетраэдра (точка пересечения отрезков, соединяющих вершины с центроидами противоположных граней).
• $H$ — ортоцентр тетраэдра.

Для ортоцентрического тетраэдра точки $O, G, H$ лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера. При этом центроид $G$ является серединой отрезка $OH$. В векторной форме это записывается как $2\vec{g} = \vec{o} + \vec{h}$, где $\vec{o}, \vec{g}, \vec{h}$ — радиус-векторы соответствующих точек из произвольного начала.

Докажем, что все три группы указанных в задаче точек лежат на одной сфере.

Доказательство для точек пересечения медиан всех граней

Пусть $M_A, M_B, M_C, M_D$ — точки пересечения медиан (центроиды) граней $BCD, ACD, ABD, ABC$ соответственно. Их радиус-векторы выражаются через радиус-векторы вершин:
$\vec{m_a} = \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3}$, $\vec{m_b} = \frac{\vec{a}+\vec{c}+\vec{d}}{3}$, $\vec{m_c} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$, $\vec{m_d} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$.

Рассмотрим гомотетию (преобразование подобия) $h_1$ с центром в центроиде тетраэдра $G$ и коэффициентом $k_1 = -1/3$. Радиус-вектор центроида $G$ равен $\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$.

Найдём образ вершины $A$ при этой гомотетии:
$h_1(A) = A'$, где $\vec{a'} = \vec{g} + k_1(\vec{a}-\vec{g}) = (1-k_1)\vec{g} + k_1\vec{a} = (1 - (-\frac{1}{3}))\vec{g} - \frac{1}{3}\vec{a} = \frac{4}{3}\vec{g} - \frac{1}{3}\vec{a}$.
Подставим выражение для $\vec{g}$:
$\vec{a'} = \frac{4}{3}\left(\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}\right) - \frac{1}{3}\vec{a} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3} - \frac{\vec{a}}{3} = \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3} = \vec{m_a}$.

Таким образом, гомотетия $h_1$ переводит вершину $A$ в центроид противоположной грани $M_A$. Аналогично, $h_1(B) = M_B$, $h_1(C) = M_C$, $h_1(D) = M_D$.

Поскольку гомотетия переводит сферу в сферу, то точки $M_A, M_B, M_C, M_D$ лежат на сфере $S_1$, которая является образом описанной сферы тетраэдра $S_c$ при гомотетии $h_1$. Если $O$ — центр и $R_c$ — радиус сферы $S_c$, то центр сферы $S_1$ — это точка $N_1 = h_1(O)$, а её радиус $R_1 = |k_1|R_c = R_c/3$.
Вектор центра $N_1$: $\vec{n_1} = (1-k_1)\vec{g} + k_1\vec{o} = \frac{4}{3}\vec{g} - \frac{1}{3}\vec{o}$.

Ответ: Точки пересечения медиан всех граней лежат на одной сфере $S_1$ с центром $N_1$ и радиусом $R_c/3$.

Доказательство для точек, которые делят каждый из отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении 2:1, считая от вершины

Пусть $E_A, E_B, E_C, E_D$ — точки, делящие отрезки $HA, HB, HC, HD$ в отношении 2:1, считая от вершины. То есть $AE_A:E_A H = 2:1$. Векторно это означает:
$\vec{e_a} = \frac{1\cdot\vec{a} + 2\cdot\vec{h}}{1+2} = \frac{\vec{a}+2\vec{h}}{3}$.

Рассмотрим гомотетию $h_2$ с центром в ортоцентре $H$ и коэффициентом $k_2 = 1/3$. Найдём образ вершины $A$:
$h_2(A) = A''$, где $\vec{a''} = \vec{h} + k_2(\vec{a}-\vec{h}) = (1-k_2)\vec{h} + k_2\vec{a} = (1-\frac{1}{3})\vec{h} + \frac{1}{3}\vec{a} = \frac{2\vec{h}+\vec{a}}{3} = \vec{e_a}$.

Следовательно, гомотетия $h_2$ переводит вершины $A, B, C, D$ в точки $E_A, E_B, E_C, E_D$. Значит, эти четыре точки лежат на сфере $S_2$, которая является образом описанной сферы $S_c$ при гомотетии $h_2$.

Центр сферы $S_2$ — это точка $N_2 = h_2(O)$, а её радиус $R_2 = |k_2|R_c = R_c/3$.
Вектор центра $N_2$: $\vec{n_2} = (1-k_2)\vec{h} + k_2\vec{o} = \frac{2}{3}\vec{h} + \frac{1}{3}\vec{o}$.

Докажем, что сферы $S_1$ и $S_2$ совпадают. Их радиусы равны ($R_1 = R_2 = R_c/3$). Проверим, совпадают ли их центры $N_1$ и $N_2$, используя свойство прямой Эйлера ортоцентрического тетраэдра $2\vec{g} = \vec{o}+\vec{h}$.
$\vec{n_1} = \frac{4}{3}\vec{g} - \frac{1}{3}\vec{o} = \frac{2}{3}(2\vec{g}) - \frac{1}{3}\vec{o} = \frac{2}{3}(\vec{o}+\vec{h}) - \frac{1}{3}\vec{o} = \frac{2}{3}\vec{o} + \frac{2}{3}\vec{h} - \frac{1}{3}\vec{o} = \frac{2}{3}\vec{h} + \frac{1}{3}\vec{o} = \vec{n_2}$.

Центры и радиусы сфер совпадают, значит $S_1 = S_2$. Обозначим эту общую сферу как $S_E$ (сфера Эйлера). Её центр $N$ имеет радиус-вектор $\vec{n} = \frac{2\vec{h}+\vec{o}}{3}$. Используя $2\vec{g} = \vec{o}+\vec{h}$, можно также выразить $\vec{n} = \frac{\vec{h}+(\vec{o}+\vec{h})}{3} = \frac{\vec{h}+2\vec{g}}{3}$. Центр $N$ лежит на прямой Эйлера $OHG$.

Ответ: Данные точки лежат на той же сфере $S_E$, что и центроиды граней. Таким образом, все 8 точек (4 центроида граней и 4 точки деления отрезков от ортоцентра до вершин) лежат на одной сфере.

Доказательство для оснований высот тетраэдра

Пусть $H_A, H_B, H_C, H_D$ — основания высот, опущенных из вершин $A, B, C, D$ на противоположные грани. Докажем, что эти четыре точки также лежат на сфере Эйлера $S_E$.

Рассмотрим, например, основание высоты $H_D$ на грани $ABC$. Высота из вершины $D$ проходит через ортоцентр $H$, поэтому прямая $DH$ перпендикулярна плоскости грани $ABC$. Точка $H_D$ является точкой пересечения прямой $DH$ с плоскостью $ABC$.

Рассмотрим точку $E_D$, которая лежит на отрезке $HD$ и, как мы доказали, на сфере $S_E$. Также рассмотрим точку $M_D$ (центроид грани $ABC$), которая тоже лежит на сфере $S_E$.

Поскольку $H_D$ — проекция точки $H$ на плоскость $ABC$, а $E_D$ лежит на отрезке $HD$, то проекцией $E_D$ на плоскость $ABC$ также является точка $H_D$.

Известно, что в ортоцентрическом тетраэдре для любых трех вершин, например, $A, B, C$, основание высоты $H_D$ (из четвертой вершины $D$) является ортоцентром треугольника $ABC$.

Рассмотрим сечение сферы Эйлера $S_E$ плоскостью грани $ABC$. Это сечение является окружностью. На этой окружности лежат:

1. Точка $M_D$ (центроид грани $ABC$).
2. Точки, делящие отрезки от $H_D$ (ортоцентра $ABC$) до вершин $A, B, C$ в отношении 1:2. Это в точности точки Эйлера для треугольника $ABC$.
3. Основания высот треугольника $ABC$.

Это описание окружности девяти точек для треугольника $ABC$.

Точка $H_D$, будучи ортоцентром грани $ABC$, не лежит на окружности девяти точек этой грани (за исключением случая, когда треугольник прямоугольный). Однако существует более общий факт.

Рассмотрим диаметр $E_D M_A$ сферы $S_E$. Известный результат стереометрии гласит, что сфера, построенная на отрезке, соединяющем точку Эйлера ($E_D$) и центроид противоположной грани ($M_A$), как на диаметре, проходит через основания высот $H_B$ и $H_C$.

Поскольку точки $E_D$ и $M_A$ лежат на сфере Эйлера $S_E$, то и вся сфера с диаметром $E_D M_A$ является частью (или полностью совпадает с) $S_E$. Следовательно, точки $H_B$ и $H_C$ лежат на $S_E$. Аналогичными рассуждениями для других пар (например, $E_A M_D$) доказывается, что все четыре основания высот $H_A, H_B, H_C, H_D$ лежат на сфере $S_E$.

Ответ: Основания высот тетраэдра лежат на той же сфере $S_E$, что и предыдущие два набора точек.

Общий вывод: Все 12 точек — 4 центроида граней, 4 основания высот и 4 точки, делящие отрезки $HA, HB, HC, HD$ в отношении 2:1 от вершин — лежат на одной и той же сфере, называемой сферой Эйлера (или сферой двенадцати точек) ортоцентрического тетраэдра. Центр этой сферы $N$ лежит на прямой Эйлера $OHG$ тетраэдра.