Номер 820, страница 201 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

820. Окружность касается сторон АВ и АС треугольника АВС и пересекает сторону ВС в точках Р и Q, ВР = СQ. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

Пусть данная окружность касается сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

Рассмотрим точку $B$. Из нее к окружности проведены касательная $BM$ и секущая, проходящая через сторону $BC$ и пересекающая окружность в точках $P$ и $Q$. По теореме о касательной и секущей (или о степени точки) квадрат длины отрезка касательной от точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от той же точки до точек пересечения с окружностью.

Для точки $B$ это записывается как:
$BM^2 = BP \cdot BQ$

Аналогично, для точки $C$, из которой проведены касательная $CN$ и та же секущая, справедливо равенство:
$CN^2 = CQ \cdot CP$

Точки $P$ и $Q$ лежат на стороне $BC$. Возможны два варианта их расположения: $B-P-Q-C$ или $B-Q-P-C$. Рассмотрим первый случай, когда точки расположены в порядке $B, P, Q, C$. (Доказательство для второго случая будет аналогичным).

В этом случае длины отрезков $BQ$ и $CP$ можно выразить следующим образом:
$BQ = BP + PQ$
$CP = CQ + PQ$

Подставим эти выражения в исходные равенства:
$BM^2 = BP \cdot (BP + PQ)$
$CN^2 = CQ \cdot (CQ + PQ)$

По условию задачи дано, что $BP = CQ$. Заменим в выражении для $CN^2$ отрезок $CQ$ на равный ему $BP$:
$CN^2 = BP \cdot (BP + PQ)$

Теперь мы видим, что правые части выражений для $BM^2$ и $CN^2$ равны. Следовательно, равны и левые части:
$BM^2 = CN^2$

Поскольку длины отрезков являются положительными величинами, из этого следует, что:
$BM = CN$

Теперь рассмотрим отрезки касательных, проведенных к окружности из вершины $A$. По свойству касательных, проведенных из одной точки, их длины равны:
$AM = AN$

Стороны треугольника $AB$ и $AC$ состоят из следующих отрезков:
$AB = AM + MB$
$AC = AN + NC$

Так как мы доказали, что $AM = AN$ и $BM = CN$, мы можем заключить, что:
$AB = AM + MB = AN + CN = AC$

Поскольку стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ равны, то по определению этот треугольник является равнобедренным.

Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.