Номер 823, страница 201 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

823. Точки В₁ и С₁ — середины дуг АB и АС (рис. 209). Докажите, что АМ = АN.

Для доказательства равенства отрезков $AM = AN$ рассмотрим треугольник $\triangle AMN$. Если мы докажем, что углы при основании $MN$ этого треугольника равны, то есть $\angle AMN = \angle ANM$, то по признаку равнобедренного треугольника будет следовать, что треугольник $\triangle AMN$ — равнобедренный, а значит, его боковые стороны $AM$ и $AN$ равны.

Для нахождения величин углов $\angle AMN$ и $\angle ANM$ воспользуемся теоремой об угле между пересекающимися хордами: величина угла, образованного двумя пересекающимися в круге хордами, равна половине суммы угловых величин дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

Найдем величину угла $\angle AMN$. Этот угол образован пересечением хорд $AB$ и $B_1C_1$ в точке $M$. Угол $\angle AMN$ совпадает с углом $\angle AMC_1$, так как точки $M, N, C_1$ лежат на одной прямой. Вертикальным к углу $\angle AMC_1$ является угол $\angle BMB_1$. Угол $\angle AMC_1$ опирается на дугу $AC_1$, а угол $\angle BMB_1$ — на дугу $B_1B$. Следовательно, по теореме о пересекающихся хордах: $$ \angle AMN = \frac{1}{2} (\text{дуга } AC_1 + \text{дуга } B_1B) $$

Теперь найдем величину угла $\angle ANM$. Этот угол образован пересечением хорд $AC$ и $B_1C_1$ в точке $N$. Угол $\angle ANM$ совпадает с углом $\angle ANB_1$, так как точки $B_1, M, N$ лежат на одной прямой. Вертикальным к углу $\angle ANB_1$ является угол $\angle CNC_1$. Угол $\angle ANB_1$ опирается на дугу $AB_1$, а угол $\angle CNC_1$ — на дугу $C_1C$. Следовательно, по той же теореме: $$ \angle ANM = \frac{1}{2} (\text{дуга } AB_1 + \text{дуга } C_1C) $$

По условию задачи дано, что:

• Точка $B_1$ — середина дуги $AB$. Это означает, что дуги, на которые она делит дугу $AB$, равны: $\text{дуга } AB_1 = \text{дуга } B_1B$.
• Точка $C_1$ — середина дуги $AC$. Это означает, что дуги, на которые она делит дугу $AC$, равны: $\text{дуга } AC_1 = \text{дуга } C_1C$.

Подставим эти равенства в полученные выражения для углов. В выражении для $\angle AMN$ заменим дугу $B_1B$ на равную ей дугу $AB_1$: $$ \angle AMN = \frac{1}{2} (\text{дуга } AC_1 + \text{дуга } AB_1) $$ В выражении для $\angle ANM$ заменим дугу $C_1C$ на равную ей дугу $AC_1$: $$ \angle ANM = \frac{1}{2} (\text{дуга } AB_1 + \text{дуга } AC_1) $$

Сравнивая полученные выражения, видим, что правые части равны. Следовательно, равны и левые части: $$ \angle AMN = \angle ANM $$

Так как в треугольнике $\triangle AMN$ два угла равны, он является равнобедренным с основанием $MN$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AM = AN$.

Ответ: Что и требовалось доказать.