Номер 822, страница 201 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

822. Через точку K, лежащую на окружности с центром О, проведены хорда KА и касательная KВ, а через точку О проведена прямая, перпендикулярная к прямой ОА и пересекающая хорду KА в точке М, а касательную KВ — в точке N. Докажите, что NK = NМ.

Рассмотрим треугольник $OAK$. Так как $O$ — центр окружности, а $K$ и $A$ — точки на окружности, то отрезки $OK$ и $OA$ являются радиусами этой окружности. Следовательно, $OK = OA$, и треугольник $OAK$ является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Поэтому $\angle OKA = \angle OAK$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$: $\angle OKA = \angle OAK = \alpha$.

По условию, $KB$ является касательной к окружности в точке $K$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OK \perp KB$. Так как точка $N$ лежит на прямой $KB$, то $OK \perp KN$, и следовательно, $\angle OKN = 90^\circ$.

Точка $M$ лежит на хорде $KA$, поэтому угол $\angle OKM$ совпадает с углом $\angle OKA$. Теперь мы можем выразить угол $\angle NKM$: $\angle NKM = \angle OKN - \angle OKM = 90^\circ - \angle OKA = 90^\circ - \alpha$.

Теперь найдем угол $\angle NMK$. Углы $\angle NMK$ и $\angle OMA$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых $ON$ и $KA$. Следовательно, $\angle NMK = \angle OMA$.

Рассмотрим треугольник $OAM$. По условию, прямая, проходящая через $O$ (на которой лежат точки $O, M, N$), перпендикулярна прямой $OA$. Это означает, что $\angle AOM = 90^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $OAM$ равна $180^\circ$: $\angle OMA + \angle OAM + \angle AOM = 180^\circ$.

Мы знаем, что $\angle OAM = \angle OAK = \alpha$ и $\angle AOM = 90^\circ$. Подставим эти значения в уравнение: $\angle OMA + \alpha + 90^\circ = 180^\circ$.

Отсюда находим $\angle OMA$: $\angle OMA = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha$.

Так как $\angle NMK = \angle OMA$, то $\angle NMK = 90^\circ - \alpha$.

Теперь сравним углы в треугольнике $NKM$. Мы получили, что $\angle NKM = 90^\circ - \alpha$ и $\angle NMK = 90^\circ - \alpha$. Таким образом, $\angle NKM = \angle NMK$.

Поскольку в треугольнике $NKM$ два угла равны, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны между собой. Напротив угла $\angle NMK$ лежит сторона $NK$, а напротив угла $\angle NKM$ лежит сторона $NM$. Следовательно, $NK = NM$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $NK = NM$ доказано.