Номер 825, страница 201 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый с ромбами
ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§ 1. Углы и отрезки, связанные с окружностью. Глава 8. Некоторые сведения из планиметрии - номер 825, страница 201.
№825 (с. 201)
Условие. №825 (с. 201)
скриншот условия

825. Хорды АВ и СD взаимно перпендикулярны , луч АВ является биссектрисой угла DАЕ. Докажите, что АЕ ⊥ ВС. Рассмотрите все возможные случаи.
Решение 2. №825 (с. 201)

Решение 6. №825 (с. 201)
Для доказательства утверждения воспользуемся свойствами вписанных углов и дуг окружности, на которые они опираются.
Пусть все точки A, B, C, D, E лежат на одной окружности.По условию, луч AB является биссектрисой угла DAE. Углы ?DAB и ?EAB являются вписанными в окружность. Так как эти углы равны (?DAB = ?EAB), то и дуги, на которые они опираются, равны.Угол ?DAB опирается на дугу DB, а угол ?EAB опирается на дугу EB. Следовательно, величины этих дуг равны:
По условию, хорды AB и CD взаимно перпендикулярны. Пусть они пересекаются в точке P. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла. Для угла ?APC = 90° это означает:Так как , то получаем:Отсюда следует, что сумма дуг и равна :
Теперь рассмотрим угол между хордами AE и BC. Пусть они пересекаются в точке Q. Величина угла ?AQC также равна полусумме дуг, заключенных между его сторонами:Мы уже установили, что . Заменим в формуле дугу на равную ей дугу :А так как мы ранее вывели, что , то получаем:Угол между хордами AE и BC равен 90°, что означает, что они перпендикулярны: .Что и требовалось доказать.
Рассмотрим все возможные случаи, упомянутые в условии задачи.
Прежде всего, докажем, что точка пересечения P хорд AB и CD должна лежать внутри окружности. Если бы линии, содержащие хорды, пересекались вне окружности в точке P, то угол между ними вычислялся бы как полуразность дуг: . Отсюда , что невозможно, так как большая из двух вычитаемых дуг (в данном случае ) не может превышать (если считать ее меньшей дугой), а если она является большей дугой, то ее величина будет больше , но тогда разность будет еще больше. Таким образом, пересечение хорд может быть только внутренним.
Частный случай 1: Одна из хорд, например AB, является диаметром.Если AB — диаметр и , то AB делит хорду CD и дуги, которые она стягивает, пополам. В частности, .Из условия, что луч AB — биссектриса угла ?DAE, следует, что .Из этих двух равенств получаем, что . Поскольку у этих дуг есть общая точка B, их вторые концы должны совпадать, то есть точка E совпадает с точкой C.Задача сводится к доказательству, что . Это известное свойство окружности: вписанный угол ?ACB, опирающийся на диаметр AB, является прямым. Следовательно, .
Частный случай 2: Хорда CD является диаметром.Если CD — диаметр и , то диаметр CD делит хорду AB и стягиваемую ею дугу пополам, то есть и .Из условия, что луч AB — биссектриса угла ?DAE, следует, что .Из равенств и получаем .Мы должны доказать, что , то есть что сумма дуг равна .Заменим в этой сумме на и на :Поскольку CD — диаметр, дуга CBD является полуокружностью, то есть .Так как , то .Следовательно, , и угол между хордами AE и BC равен .
Таким образом, общее доказательство, приведенное вначале, корректно для всех возможных конфигураций, включая частные случаи, когда одна из хорд является диаметром.
Ответ: Утверждение доказано. Во всех возможных случаях .
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 825 расположенного на странице 201 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №825 (с. 201), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.