Номер 825, страница 201 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

825. Хорды АВ и СD взаимно перпендикулярны , луч АВ является биссектрисой угла DАЕ. Докажите, что АЕ ⊥ ВС. Рассмотрите все возможные случаи.

Для доказательства утверждения воспользуемся свойствами вписанных углов и дуг окружности, на которые они опираются.

Пусть все точки A, B, C, D, E лежат на одной окружности.По условию, луч AB является биссектрисой угла DAE. Углы ?DAB и ?EAB являются вписанными в окружность. Так как эти углы равны (?DAB = ?EAB), то и дуги, на которые они опираются, равны.Угол ?DAB опирается на дугу DB, а угол ?EAB опирается на дугу EB. Следовательно, величины этих дуг равны:$?DB = ?EB$

По условию, хорды AB и CD взаимно перпендикулярны. Пусть они пересекаются в точке P. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла. Для угла ?APC = 90° это означает:$?APC = \frac{1}{2} (?AC + ?DB)$Так как $?APC = 90°$, то получаем:$90° = \frac{1}{2} (?AC + ?DB)$Отсюда следует, что сумма дуг $?AC$ и $?DB$ равна $180°$:$?AC + ?DB = 180°$

Теперь рассмотрим угол между хордами AE и BC. Пусть они пересекаются в точке Q. Величина угла ?AQC также равна полусумме дуг, заключенных между его сторонами:$?AQC = \frac{1}{2} (?AC + ?EB)$Мы уже установили, что $?EB = ?DB$. Заменим в формуле дугу $?EB$ на равную ей дугу $?DB$:$?AQC = \frac{1}{2} (?AC + ?DB)$А так как мы ранее вывели, что $?AC + ?DB = 180°$, то получаем:$?AQC = \frac{1}{2} (180°) = 90°$Угол между хордами AE и BC равен 90°, что означает, что они перпендикулярны: $AE \perp BC$.Что и требовалось доказать.

Рассмотрим все возможные случаи, упомянутые в условии задачи.

Прежде всего, докажем, что точка пересечения P хорд AB и CD должна лежать внутри окружности. Если бы линии, содержащие хорды, пересекались вне окружности в точке P, то угол между ними вычислялся бы как полуразность дуг: $?P = \frac{1}{2} (?AC - ?BD) = 90°$. Отсюда $?AC - ?BD = 180°$, что невозможно, так как большая из двух вычитаемых дуг (в данном случае $?AC$) не может превышать $180°$ (если считать ее меньшей дугой), а если она является большей дугой, то ее величина будет больше $180°$, но тогда разность будет еще больше. Таким образом, пересечение хорд может быть только внутренним.

Частный случай 1: Одна из хорд, например AB, является диаметром.Если AB — диаметр и $AB \perp CD$, то AB делит хорду CD и дуги, которые она стягивает, пополам. В частности, $?BC = ?BD$.Из условия, что луч AB — биссектриса угла ?DAE, следует, что $?DB = ?EB$.Из этих двух равенств получаем, что $?BC = ?EB$. Поскольку у этих дуг есть общая точка B, их вторые концы должны совпадать, то есть точка E совпадает с точкой C.Задача сводится к доказательству, что $AC \perp BC$. Это известное свойство окружности: вписанный угол ?ACB, опирающийся на диаметр AB, является прямым. Следовательно, $AC \perp BC$.

Частный случай 2: Хорда CD является диаметром.Если CD — диаметр и $AB \perp CD$, то диаметр CD делит хорду AB и стягиваемую ею дугу пополам, то есть $?AD = ?BD$ и $?AC = ?BC$.Из условия, что луч AB — биссектриса угла ?DAE, следует, что $?DB = ?EB$.Из равенств $?AD = ?BD$ и $?DB = ?EB$ получаем $?AD = ?EB$.Мы должны доказать, что $AE \perp BC$, то есть что сумма дуг $?AC + ?EB$ равна $180°$.Заменим в этой сумме $?AC$ на $?BC$ и $?EB$ на $?AD$:$?AC + ?EB = ?BC + ?AD$Поскольку CD — диаметр, дуга CBD является полуокружностью, то есть $?CB + ?BD = 180°$.Так как $?AD = ?BD$, то $?CB + ?AD = 180°$.Следовательно, $?AC + ?EB = 180°$, и угол между хордами AE и BC равен $90°$.

Таким образом, общее доказательство, приведенное вначале, корректно для всех возможных конфигураций, включая частные случаи, когда одна из хорд является диаметром.

Ответ: Утверждение доказано. Во всех возможных случаях $AE \perp BC$.