Номер 825, страница 201 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: коричневый с ромбами

ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

§ 1. Углы и отрезки, связанные с окружностью. Глава 8. Некоторые сведения из планиметрии - номер 825, страница 201.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№825 (с. 201)
Условие. №825 (с. 201)
скриншот условия
Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета, страница 201, номер 825, Условие

825. Хорды АВ и СD взаимно перпендикулярны , луч АВ является биссектрисой угла DАЕ. Докажите, что АЕ ⊥ ВС. Рассмотрите все возможные случаи.

Решение 2. №825 (с. 201)
Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета, страница 201, номер 825, Решение 2
Решение 6. №825 (с. 201)

Для доказательства утверждения воспользуемся свойствами вписанных углов и дуг окружности, на которые они опираются.

Пусть все точки A, B, C, D, E лежат на одной окружности.По условию, луч AB является биссектрисой угла DAE. Углы ?DAB и ?EAB являются вписанными в окружность. Так как эти углы равны (?DAB = ?EAB), то и дуги, на которые они опираются, равны.Угол ?DAB опирается на дугу DB, а угол ?EAB опирается на дугу EB. Следовательно, величины этих дуг равны:?DB=?EB?DB = ?EB

По условию, хорды AB и CD взаимно перпендикулярны. Пусть они пересекаются в точке P. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла. Для угла ?APC = 90° это означает:?APC=12(?AC+?DB)?APC = \frac{1}{2} (?AC + ?DB)Так как ?APC=90°?APC = 90°, то получаем:90°=12(?AC+?DB)90° = \frac{1}{2} (?AC + ?DB)Отсюда следует, что сумма дуг ?AC?AC и ?DB?DB равна 180°180°:?AC+?DB=180°?AC + ?DB = 180°

Теперь рассмотрим угол между хордами AE и BC. Пусть они пересекаются в точке Q. Величина угла ?AQC также равна полусумме дуг, заключенных между его сторонами:?AQC=12(?AC+?EB)?AQC = \frac{1}{2} (?AC + ?EB)Мы уже установили, что ?EB=?DB?EB = ?DB. Заменим в формуле дугу ?EB?EB на равную ей дугу ?DB?DB:?AQC=12(?AC+?DB)?AQC = \frac{1}{2} (?AC + ?DB)А так как мы ранее вывели, что ?AC+?DB=180°?AC + ?DB = 180°, то получаем:?AQC=12(180°)=90°?AQC = \frac{1}{2} (180°) = 90°Угол между хордами AE и BC равен 90°, что означает, что они перпендикулярны: AEBCAE \perp BC.Что и требовалось доказать.

Рассмотрим все возможные случаи, упомянутые в условии задачи.

Прежде всего, докажем, что точка пересечения P хорд AB и CD должна лежать внутри окружности. Если бы линии, содержащие хорды, пересекались вне окружности в точке P, то угол между ними вычислялся бы как полуразность дуг: ?P=12(?AC?BD)=90°?P = \frac{1}{2} (?AC - ?BD) = 90°. Отсюда ?AC?BD=180°?AC - ?BD = 180°, что невозможно, так как большая из двух вычитаемых дуг (в данном случае ?AC?AC) не может превышать 180°180° (если считать ее меньшей дугой), а если она является большей дугой, то ее величина будет больше 180°180°, но тогда разность будет еще больше. Таким образом, пересечение хорд может быть только внутренним.

Частный случай 1: Одна из хорд, например AB, является диаметром.Если AB — диаметр и ABCDAB \perp CD, то AB делит хорду CD и дуги, которые она стягивает, пополам. В частности, ?BC=?BD?BC = ?BD.Из условия, что луч AB — биссектриса угла ?DAE, следует, что ?DB=?EB?DB = ?EB.Из этих двух равенств получаем, что ?BC=?EB?BC = ?EB. Поскольку у этих дуг есть общая точка B, их вторые концы должны совпадать, то есть точка E совпадает с точкой C.Задача сводится к доказательству, что ACBCAC \perp BC. Это известное свойство окружности: вписанный угол ?ACB, опирающийся на диаметр AB, является прямым. Следовательно, ACBCAC \perp BC.

Частный случай 2: Хорда CD является диаметром.Если CD — диаметр и ABCDAB \perp CD, то диаметр CD делит хорду AB и стягиваемую ею дугу пополам, то есть ?AD=?BD?AD = ?BD и ?AC=?BC?AC = ?BC.Из условия, что луч AB — биссектриса угла ?DAE, следует, что ?DB=?EB?DB = ?EB.Из равенств ?AD=?BD?AD = ?BD и ?DB=?EB?DB = ?EB получаем ?AD=?EB?AD = ?EB.Мы должны доказать, что AEBCAE \perp BC, то есть что сумма дуг ?AC+?EB?AC + ?EB равна 180°180°.Заменим в этой сумме ?AC?AC на ?BC?BC и ?EB?EB на ?AD?AD:?AC+?EB=?BC+?AD?AC + ?EB = ?BC + ?ADПоскольку CD — диаметр, дуга CBD является полуокружностью, то есть ?CB+?BD=180°?CB + ?BD = 180°.Так как ?AD=?BD?AD = ?BD, то ?CB+?AD=180°?CB + ?AD = 180°.Следовательно, ?AC+?EB=180°?AC + ?EB = 180°, и угол между хордами AE и BC равен 90°90°.

Таким образом, общее доказательство, приведенное вначале, корректно для всех возможных конфигураций, включая частные случаи, когда одна из хорд является диаметром.

Ответ: Утверждение доказано. Во всех возможных случаях AEBCAE \perp BC.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 825 расположенного на странице 201 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №825 (с. 201), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться