Номер 831, страница 202 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

831. Противоположные стороны выпуклого четырёхугольника продолжены до пересечения. Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда биссектрисы образовавшихся углов взаимно перпендикулярны.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Продолжим противоположные стороны $AB$ и $DC$ до их пересечения в точке $P$, а стороны $AD$ и $BC$ — до их пересечения в точке $Q$. Образовались два угла: $\angle P$ и $\angle Q$. Нам нужно доказать, что около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность тогда и только тогда, когда биссектрисы углов $\angle P$ и $\angle Q$ взаимно перпендикулярны.

Утверждение "тогда и только тогда" требует доказательства в обе стороны.

Пусть $l_P$ и $l_Q$ — биссектрисы углов $\angle P$ и $\angle Q$ соответственно. Пусть они пересекаются в точке $I$. Биссектрисы $l_P$ и $l_Q$ взаимно перпендикулярны, если угол между ними, $\angle PIQ$, равен $90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle PIQ$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Углы при вершинах $P$ и $Q$ в этом треугольнике равны половинам углов $\angle P$ и $\angle Q$ соответственно, так как $PI$ и $QI$ — биссектрисы. $$ \angle PIQ = 180^\circ - (\angle IPQ + \angle IQP) = 180^\circ - \left(\frac{\angle P}{2} + \frac{\angle Q}{2}\right) $$ Условие $\angle PIQ = 90^\circ$ эквивалентно следующему: $$ 90^\circ = 180^\circ - \frac{\angle P + \angle Q}{2} $$ $$ \frac{\angle P + \angle Q}{2} = 90^\circ $$ $$ \angle P + \angle Q = 180^\circ $$ Таким образом, задача сводится к доказательству того, что четырехугольник $ABCD$ является вписанным тогда и только тогда, когда сумма углов $\angle P$ и $\angle Q$ равна $180^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $AQCP$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$. Его углами являются $\angle AQC$ (это наш $\angle Q$), $\angle QCP$, $\angle CPA$ (это наш $\angle P$) и $\angle PAQ$. Угол $\angle PAQ$ четырехугольника $AQCP$ совпадает с внутренним углом $\angle A$ четырехугольника $ABCD$. Угол $\angle QCP$ четырехугольника $AQCP$ совпадает с внутренним углом $\angle C$ четырехугольника $ABCD$. Следовательно, для углов четырехугольника $AQCP$ справедливо равенство: $$ \angle Q + \angle C + \angle P + \angle A = 360^\circ $$ $$ \angle P + \angle Q = 360^\circ - (\angle A + \angle C) $$ Теперь мы можем доказать основное утверждение.

Доказательство необходимости (?)

Пусть около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность (т.е. он вписанный). Тогда по свойству вписанного четырехугольника, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. В частности, $\angle A + \angle C = 180^\circ$. Подставим это в выведенную нами формулу: $$ \angle P + \angle Q = 360^\circ - (\angle A + \angle C) = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ $$ Поскольку $\angle P + \angle Q = 180^\circ$, биссектрисы углов $\angle P$ и $\angle Q$ взаимно перпендикулярны.

Доказательство достаточности (?)

Пусть биссектрисы углов $\angle P$ и $\angle Q$ взаимно перпендикулярны. Как мы показали ранее, это эквивалентно условию $\angle P + \angle Q = 180^\circ$. Снова используем формулу для суммы углов четырехугольника $AQCP$: $$ \angle P + \angle Q = 360^\circ - (\angle A + \angle C) $$ Подставим в нее известное нам значение суммы $\angle P + \angle Q$: $$ 180^\circ = 360^\circ - (\angle A + \angle C) $$ $$ \angle A + \angle C = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ $$ Поскольку сумма противоположных углов $\angle A$ и $\angle C$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ равна $180^\circ$, по признаку вписанного четырехугольника, около него можно описать окружность.

Таким образом, оба направления утверждения доказаны.

Ответ: Что и требовалось доказать.