Номер 833, страница 202 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

833. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, у которой основания $AD$ и $BC$, а боковая сторона $AB$, перпендикулярная основаниям, является высотой. Обозначим длины оснований как $AD=a$ и $BC=b$, а высоту как $AB=h$.

Площадь трапеции вычисляется по стандартной формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

По условию, в трапецию можно вписать окружность. Это означает, что трапеция является описанным четырехугольником. Для любого описанного четырехугольника суммы длин его противоположных сторон равны (свойство описанного четырехугольника или теорема Пито). Применительно к нашей трапеции это свойство записывается в виде равенства: $AD + BC = AB + CD$ Подставляя наши обозначения, получаем: $a + b = h + CD$

Для того чтобы найти связь между сторонами трапеции, опустим из вершины $C$ перпендикуляр $CK$ на большее основание $AD$. В результате образуется прямоугольный треугольник $CKD$. Катеты этого треугольника равны: $CK = AB = h$ (высота трапеции) и $KD = AD - AK = AD - BC = a - b$ (разность оснований). Гипотенузой является боковая сторона $CD$. По теореме Пифагора для треугольника $CKD$ имеем: $CD^2 = CK^2 + KD^2 = h^2 + (a-b)^2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Из свойства описанного четырехугольника выразим $CD$: $CD = a + b - h$ Подставим это выражение для $CD$ в уравнение, полученное из теоремы Пифагора: $(a + b - h)^2 = h^2 + (a-b)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Левую часть раскроем как квадрат разности $((a+b) - h)$: $(a+b)^2 - 2h(a+b) + h^2 = h^2 + (a-b)^2$ Используя формулы квадрата суммы и квадрата разности, получим: $a^2 + 2ab + b^2 - 2h(a+b) + h^2 = h^2 + a^2 - 2ab + b^2$

Сократим одинаковые слагаемые ($a^2$, $b^2$, $h^2$) в обеих частях уравнения: $2ab - 2h(a+b) = -2ab$ Перенесем член $-2ab$ из правой части в левую: $4ab = 2h(a+b)$ Разделим обе части на 2, чтобы упростить выражение: $2ab = h(a+b)$

Вернемся к формуле площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Эту формулу можно записать как $S = \frac{h(a+b)}{2}$. Теперь мы можем подставить в нее полученное нами соотношение $h(a+b) = 2ab$: $S = \frac{2ab}{2} = ab$

Таким образом, мы доказали, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований, то есть $S = ab$.