Номер 840, страница 213 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

840. Внутри треугольника АВС взята точка М. Докажите, что площади треугольников ВАМ и ВСМ равны тогда и только тогда, когда точка М лежит на медиане треугольника АВС, проведённой из вершины В.

Для доказательства утверждения "тогда и только тогда" необходимо доказать два утверждения:

1. Если точка $M$ лежит на медиане, проведенной из вершины $B$, то площади треугольников $BAM$ и $BCM$ равны (прямое утверждение).
2. Если площади треугольников $BAM$ и $BCM$ равны, то точка $M$ лежит на медиане, проведенной из вершины $B$ (обратное утверждение).

Пусть $BK$ – медиана треугольника $ABC$, проведенная из вершины $B$. Это означает, что точка $K$ является серединой стороны $AC$, то есть $AK = KC$. Точка $M$ по условию лежит на медиане $BK$.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $CBK$. У них равные основания ($AK = KC$) и общая высота, проведенная из вершины $B$ к прямой $AC$. Следовательно, их площади равны:

$S_{\triangle ABK} = S_{\triangle CBK}$

Теперь рассмотрим треугольники $AMK$ и $CMK$. У них также равные основания ($AK = KC$) и общая высота, проведенная из точки $M$ к прямой $AC$. Следовательно, их площади тоже равны:

$S_{\triangle AMK} = S_{\triangle CMK}$

Площадь треугольника $BAM$ можно представить как разность площадей треугольников $ABK$ и $AMK$:

$S_{\triangle BAM} = S_{\triangle ABK} - S_{\triangle AMK}$

Аналогично, площадь треугольника $BCM$ можно представить как разность площадей треугольников $CBK$ и $CMK$:

$S_{\triangle BCM} = S_{\triangle CBK} - S_{\triangle CMK}$

Так как $S_{\triangle ABK} = S_{\triangle CBK}$ и $S_{\triangle AMK} = S_{\triangle CMK}$, то и разности этих площадей равны:

$S_{\triangle BAM} = S_{\triangle BCM}$

Первая часть утверждения доказана.

Ответ: Таким образом, доказано, что если точка $M$ лежит на медиане $BK$, то площади треугольников $BAM$ и $BCM$ равны.

Пусть площади треугольников $BAM$ и $BCM$ равны: $S_{\triangle BAM} = S_{\triangle BCM}$.

Проведем луч $BM$ до пересечения со стороной $AC$ в точке $K$. Нам нужно доказать, что $BK$ является медианой, то есть что $AK=KC$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ - сторона, а $h$ - высота, проведенная к этой стороне.

Опустим перпендикуляры из точек $A$ и $C$ на прямую $BK$. Обозначим их основания как $H_A$ и $H_C$ соответственно. Тогда $AH_A$ и $CH_C$ — это высоты треугольников $BAM$ и $BCM$, проведенные к общему основанию (или его продолжению) $BM$.

Площадь треугольника $BAM$ равна:

$S_{\triangle BAM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot AH_A$

Площадь треугольника $BCM$ равна:

$S_{\triangle BCM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot CH_C$

По условию $S_{\triangle BAM} = S_{\triangle BCM}$, следовательно:

$\frac{1}{2} \cdot BM \cdot AH_A = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot CH_C$

Отсюда следует, что $AH_A = CH_C$.

Теперь рассмотрим треугольники $AKH_A$ и $CKH_C$.

1. Они оба прямоугольные: $\angle AH_AK = \angle CH_CK = 90^{\circ}$.
2. Углы $\angle AKH_A$ и $\angle CKH_C$ равны как вертикальные.
3. Мы доказали, что катеты $AH_A$ и $CH_C$ равны.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AKH_A$ и $\triangle CKH_C$ равны по катету и противолежащему острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AK = CK$.

Так как $K$ — середина стороны $AC$, то отрезок $BK$ является медианой треугольника $ABC$. Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $BK$, она лежит на медиане.

Вторая часть утверждения доказана.

Ответ: Таким образом, доказано, что если площади треугольников $BAM$ и $BCM$ равны, то точка $M$ лежит на медиане, проведенной из вершины $B$.

Поскольку мы доказали и прямое, и обратное утверждения, исходное утверждение полностью доказано.