Номер 847, страница 213 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

847. Докажите, что: а) квадрат площади S выпуклого четырёхугольника со сторонами а, b, c, d и полупериметром р выражается форму лой S² = (р − а) (р − b) (р − с) (p − d) − abcd cos²B + D2; б) площадь S вписанного четырёхугольника выражается формулой S = (р − a)(р − b)(р − c)(р − d); исходя из этой формулы, получите формулу Герона для площади треугольника.

а) Докажем формулу для квадрата площади выпуклого четырехугольника, известную как формула Бретшнайдера.

Пусть дан выпуклый четырехугольник со сторонами $a, b, c, d$ и углами $B$ и $D$, противолежащими друг другу. Площадь $S$ этого четырехугольника можно представить как сумму площадей двух треугольников, на которые его разбивает диагональ. Проведем диагональ между вершинами, не инцидентными сторонам $a, b$ и $c, d$. Площадь $S$ равна сумме площадей треугольников с общим основанием (диагональю), сторонами $a, b$ и $c, d$ и углами между ними $B$ и $D$ соответственно.

$S = \frac{1}{2}ab \sin B + \frac{1}{2}cd \sin D$

Умножим обе части на 2:

$2S = ab \sin B + cd \sin D$

Возведем обе части в квадрат:

$(2S)^2 = 4S^2 = (ab \sin B + cd \sin D)^2 = a^2b^2\sin^2B + 2abcd \sin B \sin D + c^2d^2\sin^2D$

Это выражение не совсем удобно. Воспользуемся другим подходом. Перепишем равенство для площади как $4S = 2ab \sin B + 2cd \sin D$.

По теореме косинусов для тех же двух треугольников, квадрат длины диагонали равен:

$d_{diag}^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos B$

$d_{diag}^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos D$

Приравнивая правые части, получаем:

$a^2 + b^2 - 2ab \cos B = c^2 + d^2 - 2cd \cos D$

Перегруппируем члены:

$a^2 + b^2 - c^2 - d^2 = 2ab \cos B - 2cd \cos D$

Теперь у нас есть два равенства:

$4S = 2ab \sin B + 2cd \sin D$

$a^2 + b^2 - c^2 - d^2 = 2ab \cos B - 2cd \cos D$

Возведем оба равенства в квадрат и сложим их:

$(4S)^2 + (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 = (2ab \sin B + 2cd \sin D)^2 + (2ab \cos B - 2cd \cos D)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$16S^2 + (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 = (4a^2b^2\sin^2B + 8abcd\sin B \sin D + 4c^2d^2\sin^2D) + (4a^2b^2\cos^2B - 8abcd\cos B \cos D + 4c^2d^2\cos^2D)$

Сгруппируем слагаемые и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ и формулой косинуса суммы углов $\cos(B+D) = \cos B \cos D - \sin B \sin D$:

$16S^2 + (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 = 4a^2b^2(\sin^2B + \cos^2B) + 4c^2d^2(\sin^2D + \cos^2D) - 8abcd(\cos B \cos D - \sin B \sin D)$

$16S^2 + (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 = 4a^2b^2 + 4c^2d^2 - 8abcd\cos(B+D)$

Выразим $16S^2$:

$16S^2 = 4a^2b^2 + 4c^2d^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 - 8abcd\cos(B+D)$

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(B+D) = 2\cos^2\frac{B+D}{2} - 1$.

$16S^2 = 4a^2b^2 + 4c^2d^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 - 8abcd(2\cos^2\frac{B+D}{2} - 1)$

$16S^2 = 4a^2b^2 + 4c^2d^2 + 8abcd - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 - 16abcd\cos^2\frac{B+D}{2}$

Сгруппируем первые три слагаемых: $4(ab+cd)^2 = (2(ab+cd))^2$.

$16S^2 = (2(ab+cd))^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 - 16abcd\cos^2\frac{B+D}{2}$

Применим формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ к первым двум членам:

$(2ab+2cd - (a^2+b^2-c^2-d^2))(2ab+2cd + (a^2+b^2-c^2-d^2)) = ((c^2+2cd+d^2) - (a^2-2ab+b^2))((a^2+2ab+b^2) - (c^2-2cd+d^2))$

$= ((c+d)^2 - (a-b)^2)((a+b)^2 - (c-d)^2)$

$= (c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c-d)$

Введем полупериметр $p = \frac{a+b+c+d}{2}$, тогда $2p = a+b+c+d$. Выразим каждый множитель через $p$:

$a+b+c-d = 2p - 2d = 2(p-d)$

$a+b-c+d = 2p - 2c = 2(p-c)$

$a-b+c+d = 2p - 2b = 2(p-b)$

$-a+b+c+d = 2p - 2a = 2(p-a)$

Произведение этих четырех множителей равно $16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)$.

Подставим это обратно в выражение для $16S^2$:

$16S^2 = 16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - 16abcd\cos^2\frac{B+D}{2}$

Разделив обе части на 16, получаем искомую формулу:

$S^2 = (p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd\cos^2\frac{B+D}{2}$

Ответ: Формула $S^2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d) - abcd \cos^2\frac{B+D}{2}$ доказана.

б) Докажем формулу для площади вписанного четырехугольника и выведем из нее формулу Герона.

Вписанный четырехугольник — это четырехугольник, вершины которого лежат на одной окружности. Для такого четырехугольника сумма противолежащих углов равна $180^\circ$. Пусть это углы $B$ и $D$, тогда $B+D = 180^\circ$.

Воспользуемся формулой, доказанной в пункте а):

$S^2 = (p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd\cos^2\frac{B+D}{2}$

Так как $B+D = 180^\circ$, то $\frac{B+D}{2} = 90^\circ$.

Косинус этого угла равен $\cos(90^\circ) = 0$.

Следовательно, второй член в формуле Бретшнайдера обращается в ноль:

$abcd\cos^2\frac{B+D}{2} = abcd \cdot 0^2 = 0$

Таким образом, для вписанного четырехугольника формула для квадрата площади упрощается до:

$S^2 = (p-a)(p-b)(p-c)(p-d)$

Извлекая квадратный корень, получаем формулу Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника:

$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

Теперь, исходя из этой формулы, получим формулу Герона для площади треугольника. Треугольник можно рассматривать как вырожденный четырехугольник, у которого длина одной из сторон, например $d$, равна нулю ($d=0$). В этом случае вершины $A$ и $D$ совпадают, и четырехугольник $ABCD$ становится треугольником $ABC$.

Полупериметр $p$ такого четырехугольника равен полупериметру треугольника:

$p = \frac{a+b+c+0}{2} = \frac{a+b+c}{2}$

Любой треугольник можно вписать в окружность, поэтому мы можем применить к нему формулу Брахмагупты, подставив $d=0$:

$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-0)}$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Это и есть формула Герона для площади треугольника.

Ответ: Формула площади вписанного четырехугольника $S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$ доказана. Исходя из неё, получена формула Герона для площади треугольника $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.