Номер 854, страница 218 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

854. Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения её диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC ($AD \parallel BC$). Пусть M — середина основания BC, а N — середина основания AD. Точка O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Точка P — точка пересечения продолжений боковых сторон AB и CD. Требуется доказать, что точки P, M, O, N лежат на одной прямой.

Доказательство можно разбить на две части.

1. Докажем, что точки P, M и N лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольник PAD. Прямая BC параллельна прямой AD, следовательно, треугольник PBC подобен треугольнику PAD ($ \triangle PBC \sim \triangle PAD $). Проведем прямую через точку P и середину N отрезка AD. Пусть эта прямая пересекает отрезок BC в точке M'. Мы докажем, что M' является серединой BC.

Рассмотрим треугольники PBM' и PAN. У них общий угол при вершине P, а углы $\angle PBM'$ и $\angle PAN$ равны как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей AP. Значит, $\triangle PBM' \sim \triangle PAN$ по двум углам. Из подобия следует:$ \frac{BM'}{AN} = \frac{PM'}{PN} $.

Аналогично, рассмотрим треугольники PCM' и PDN. У них общий угол при вершине P, а углы $\angle PCM'$ и $\angle PDN$ равны как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей DP. Значит, $\triangle PCM' \sim \triangle PDN$ по двум углам. Из подобия следует:$ \frac{CM'}{DN} = \frac{PM'}{PN} $.

Приравнивая отношения, получаем: $ \frac{BM'}{AN} = \frac{CM'}{DN} $.Так как N — середина AD, то $AN = DN$. Подставляя это в равенство, получаем $BM' = CM'$. Следовательно, M' — середина отрезка BC. А поскольку по условию M — середина BC, точки M и M' совпадают. Это означает, что прямая PN проходит через точку M, то есть точки P, M и N лежат на одной прямой.

2. Докажем, что точки O, M и N лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA. Углы $\angle OCB$ и $\angle OAD$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. Аналогично, $\angle OBC = \angle ODA$. Углы $\angle BOC$ и $\angle DOA$ равны как вертикальные. Следовательно, треугольники подобны: $\triangle BOC \sim \triangle DOA$.

Проведем прямую через точку O и середину N отрезка AD. Пусть эта прямая пересекает отрезок BC в точке M''. Мы докажем, что M'' является серединой BC.

Рассмотрим треугольники OM''B и OND. Углы $\angle BOM''$ и $\angle DON$ равны как вертикальные, а углы $\angle OBM''$ и $\angle ODN$ равны как накрест лежащие. Значит, $\triangle OM''B \sim \triangle OND$ по двум углам. Из подобия следует:$ \frac{BM''}{DN} = \frac{OB}{OD} $.

Аналогично, рассмотрим треугольники OM''C и ONA. Углы $\angle COM''$ и $\angle AON$ равны как вертикальные, а углы $\angle OCM''$ и $\angle OAN$ равны как накрест лежащие. Значит, $\triangle OM''C \sim \triangle ONA$ по двум углам. Из подобия следует:$ \frac{CM''}{AN} = \frac{OC}{OA} $.

Из подобия основных треугольников $\triangle BOC \sim \triangle DOA$ мы знаем, что $ \frac{OB}{OD} = \frac{OC}{OA} $. Следовательно, $ \frac{BM''}{DN} = \frac{CM''}{AN} $.Так как N — середина AD, то $AN = DN$. Подставляя это в равенство, получаем $BM'' = CM''$. Следовательно, M'' — середина отрезка BC. Поскольку M — середина BC, точки M и M'' совпадают. Это означает, что прямая ON проходит через точку M, то есть точки O, M и N лежат на одной прямой.

Заключение

Из пункта 1 следует, что точки P, M, N лежат на одной прямой. Из пункта 2 следует, что точки O, M, N лежат на одной прямой. Так как через две различные точки (M и N) проходит только одна прямая, все четыре точки — P, M, O, N — лежат на этой единственной прямой.

Ответ: Утверждение доказано.