Номер 856, страница 218 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

856. Окружность, вписанная в четырёхугольник АВСD, касается сторон АВ, ВС, СD и DА соответственно в точках P, Q, R и S. Докажите, что прямые PQ, RS и АС пересекаются в одной точке или параллельны друг другу.

Пусть в четырехугольник $ABCD$ вписана окружность, которая касается его сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $P$, $Q$, $R$ и $S$ соответственно. Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков касательных от вершины четырехугольника до точек касания равны: $AP = AS$ $BP = BQ$ $CQ = CR$ $DR = DS$

Для доказательства утверждения рассмотрим два возможных случая, которые зависят от соотношения длин отрезков $AS$ и $CR$.

Случай 1: $AS = CR$ (прямые параллельны)

Рассмотрим треугольник $ABC$. Прямая $PQ$ соединяет точки $P$ на стороне $AB$ и $Q$ на стороне $BC$. Согласно обратной теореме Фалеса (или теореме о пропорциональных отрезках), прямая $PQ$ параллельна стороне $AC$ тогда и только тогда, когда выполняется соотношение: $ \frac{BP}{PA} = \frac{BQ}{QC} $ Используя свойства касательных $BP = BQ$, $AP = AS$ и $CQ = CR$, перепишем это условие: $ \frac{BQ}{AS} = \frac{BQ}{CR} $ Это равенство (при $BQ \neq 0$) эквивалентно условию $AS = CR$. Следовательно, прямая $PQ$ параллельна диагонали $AC$ тогда и только тогда, когда $AS = CR$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Прямая $RS$ соединяет точки $S$ на стороне $DA$ и $R$ на стороне $DC$. Аналогично, прямая $RS$ параллельна стороне $AC$ тогда и только тогда, когда: $ \frac{DS}{SA} = \frac{DR}{RC} $ Используя свойства касательных $DR = DS$, $AS$ и $RC$, перепишем это условие: $ \frac{DS}{SA} = \frac{DS}{RC} $ Это равенство (при $DS \neq 0$) эквивалентно условию $SA = RC$. Следовательно, прямая $RS$ параллельна диагонали $AC$ тогда и только тогда, когда $AS = CR$.

Таким образом, если $AS = CR$, то обе прямые $PQ$ и $RS$ параллельны диагонали $AC$. В этом случае все три прямые $PQ$, $RS$ и $AC$ параллельны друг другу.

Случай 2: $AS \neq CR$ (прямые пересекаются в одной точке)

Если $AS \neq CR$, то, как показано выше, ни прямая $PQ$, ни прямая $RS$ не параллельны диагонали $AC$. Следовательно, прямая $PQ$ пересекает прямую $AC$ в некоторой точке, назовем ее $M$. Рассмотрим $\triangle ABC$ и секущую $PQM$. По теореме Менелая для $\triangle ABC$ и точек $P, Q, M$, лежащих на одной прямой, выполняется равенство: $ \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1 $ Подставим равенства длин отрезков касательных ($AP=AS, BP=BQ, CQ=CR$): $ \frac{AS}{BQ} \cdot \frac{BQ}{CR} \cdot \frac{CM}{MA} = 1 $ Упростив, получаем: $ \frac{AS}{CR} \cdot \frac{CM}{MA} = 1 $, откуда $ \frac{AM}{MC} = \frac{AS}{CR} $

Аналогично, прямая $RS$ пересекает прямую $AC$ в некоторой точке, назовем ее $M'$. Рассмотрим $\triangle ADC$ и секущую $RSM'$. По теореме Менелая для $\triangle ADC$ и точек $R, S, M'$, лежащих на одной прямой, выполняется равенство: $ \frac{AS}{SD} \cdot \frac{DR}{RC} \cdot \frac{CM'}{M'A} = 1 $ Подставим равенства длин отрезков касательных ($DR=DS$): $ \frac{AS}{DS} \cdot \frac{DS}{RC} \cdot \frac{CM'}{M'A} = 1 $ Упростив, получаем: $ \frac{AS}{RC} \cdot \frac{CM'}{M'A} = 1 $, откуда $ \frac{AM'}{M'C} = \frac{AS}{CR} $

Мы получили, что обе точки $M$ и $M'$ делят отрезок $AC$ в одном и том же отношении $ \frac{AS}{CR} $. Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, единственна, точки $M$ и $M'$ совпадают ($M = M'$). Это означает, что прямые $PQ$ и $RS$ пересекают диагональ $AC$ в одной и той же точке. Таким образом, в случае когда $AS \neq CR$, прямые $PQ$, $RS$ и $AC$ пересекаются в одной точке.

Объединяя оба случая, мы доказали, что прямые $PQ$, $RS$ и $AC$ либо пересекаются в одной точке, либо параллельны друг другу.

Ответ: Утверждение доказано. В зависимости от того, выполняется ли равенство $AS = CR$, прямые $PQ$, $RS$ и $AC$ либо параллельны друг другу (если $AS = CR$), либо пересекаются в одной точке (если $AS \neq CR$).