Номер 851, страница 218 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

851. Отрезки АА₁ и ВВ₁ — биссектрисы треугольника АВС, луч СС₁ — биссектриса его внешнего угла, причём точка С₁ лежит на прямой АВ. Докажите, что точки А₁, В₁ и С₁ лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой, воспользуемся теоремой, обратной к теореме Менелая. Применим эту теорему к треугольнику $ABC$ и точкам $A_1$, $B_1$ и $C_1$, которые лежат на сторонах этого треугольника или их продолжениях.

Точка $A_1$ лежит на стороне $BC$, точка $B_1$ — на стороне $AC$, а точка $C_1$ — на продолжении стороны $AB$.

Согласно обратной теореме Менелая, если для этих точек выполняется равенство:

$$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $$

то точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ коллинеарны, то есть лежат на одной прямой.

Найдём каждое из этих трёх отношений, используя свойства биссектрис треугольника. Обозначим длины сторон треугольника $ABC$ как $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$.

1. Так как $AA_1$ — биссектриса внутреннего угла $\angle BAC$, то по свойству биссектрисы треугольника она делит противолежащую сторону $BC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам $AB$ и $AC$:

$$ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b} $$

2. Так как $BB_1$ — биссектриса внутреннего угла $\angle ABC$, она аналогично делит сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам $BC$ и $AB$:

$$ \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c} $$

3. Так как луч $CC_1$ — биссектриса внешнего угла при вершине $C$, то по свойству биссектрисы внешнего угла треугольника, её пересечение с продолжением противолежащей стороны $AB$ (точка $C_1$) делит эту сторону (внешним образом) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам $AC$ и $BC$:

$$ \frac{AC_1}{BC_1} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a} $$

Так как точка $C_1$ лежит на прямой $AB$, то длина отрезка $BC_1$ равна длине отрезка $C_1B$. Таким образом:

$$ \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{b}{a} $$

Теперь подставим найденные отношения в левую часть равенства из теоремы Менелая:

$$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \left(\frac{b}{a}\right) \cdot \left(\frac{c}{b}\right) \cdot \left(\frac{a}{c}\right) $$

Сократим полученное выражение:

$$ \frac{b \cdot c \cdot a}{a \cdot b \cdot c} = 1 $$

Поскольку равенство $1 = 1$ истинно, условие обратной теоремы Менелая выполняется. Следовательно, точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.