Номер 850, страница 214 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

850. В треугольнике АВС со сторонами АВ = с, ВС = а и СА = b r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей, S — площадь, точка О — центр описанной окружности, Н — точка пересечения высот, отрезки АD и АМ — высота и медиана. Докажите, что:

а) $a+b = 4R \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{|A-B|}{2}$

Доказательство:
Воспользуемся расширенной теоремой синусов, согласно которой стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R$. Отсюда выразим стороны $a$ и $b$: $a = 2R \sin A$, $b = 2R \sin B$.

Сложим эти выражения: $a+b = 2R \sin A + 2R \sin B = 2R(\sin A + \sin B)$.

Применим формулу преобразования суммы синусов в произведение: $\sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}$.

Подставим это в выражение для $a+b$: $a+b = 2R \left( 2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} \right) = 4R \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}$.

Так как функция косинуса является четной, т.е. $\cos(x) = \cos(-x)$, то $\cos\frac{A-B}{2} = \cos\frac{B-A}{2} = \cos\frac{|A-B|}{2}$. Следовательно, $a+b = 4R \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{|A-B|}{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б) $|a-b| = 4R \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{|A-B|}{2}$

Доказательство:
Аналогично пункту а), используем выражения для сторон $a$ и $b$ из теоремы синусов: $a = 2R \sin A$, $b = 2R \sin B$.

Рассмотрим разность $a-b$: $a-b = 2R \sin A - 2R \sin B = 2R(\sin A - \sin B)$.

Применим формулу преобразования разности синусов в произведение: $\sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2}$.

Подставим это в выражение для $a-b$: $a-b = 2R \left( 2 \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} \right) = 4R \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2}$.

В треугольнике большей стороне соответствует больший противолежащий угол, поэтому знак разности $a-b$ совпадает со знаком разности $A-B$. Таким образом, знак $a-b$ совпадает со знаком $\sin\frac{A-B}{2}$. Следовательно, $|a-b| = |4R \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2}|$. Поскольку $A$ и $B$ - углы треугольника, $A+B < \pi$, значит $\frac{A+B}{2} < \frac{\pi}{2}$, и $\cos\frac{A+B}{2} > 0$. Также $R > 0$. Тогда $|a-b| = 4R \cos\frac{A+B}{2} \left|\sin\frac{A-B}{2}\right|$. Так как $\sin(-x) = -\sin(x)$, то $\left|\sin\frac{A-B}{2}\right| = \sin\frac{|A-B|}{2}$. Окончательно получаем: $|a-b| = 4R \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{|A-B|}{2}$.

Ответ: Равенство доказано.

в) $\frac{|a-b|}{a+b} = \frac{\text{tg}\frac{1}{2}|A-B|}{\text{tg}\frac{1}{2}(A+B)}$

Доказательство:
Это тождество известно как теорема тангенсов (формула Мольвейде). Для его доказательства воспользуемся результатами, полученными в пунктах а) и б): $a+b = 4R \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{|A-B|}{2}$ $|a-b| = 4R \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{|A-B|}{2}$

Разделим второе равенство на первое: $\frac{|a-b|}{a+b} = \frac{4R \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{|A-B|}{2}}{4R \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{|A-B|}{2}}$.

Сократив $4R$, получаем: $\frac{|a-b|}{a+b} = \frac{\sin\frac{|A-B|}{2}}{\cos\frac{|A-B|}{2}} \cdot \frac{\cos\frac{A+B}{2}}{\sin\frac{A+B}{2}}$.

Используя определения тангенса ($\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$) и котангенса ($\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\text{tg } x}$), запишем: $\frac{|a-b|}{a+b} = \text{tg}\frac{|A-B|}{2} \cdot \text{ctg}\frac{A+B}{2} = \frac{\text{tg}\frac{1}{2}|A-B|}{\text{tg}\frac{1}{2}(A+B)}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

г) $\frac{a^2-b^2}{c} = a \cos B - b \cos A$

Доказательство:
Выразим косинусы углов $A$ и $B$ через стороны треугольника с помощью теоремы косинусов: $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Подставим эти выражения в правую часть доказываемого равенства: $a \cos B - b \cos A = a \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \right) - b \left( \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right)$.

Сократим $a$ в первом слагаемом и $b$ во втором: $\frac{a^2+c^2-b^2}{2c} - \frac{b^2+c^2-a^2}{2c}$.

Приведем дроби к общему знаменателю и упростим числитель: $\frac{(a^2+c^2-b^2) - (b^2+c^2-a^2)}{2c} = \frac{a^2+c^2-b^2-b^2-c^2+a^2}{2c} = \frac{2a^2-2b^2}{2c} = \frac{a^2-b^2}{c}$.

Полученное выражение совпадает с левой частью равенства.

Ответ: Равенство доказано.

д) $a+b+c = 8R \cos\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}$

Доказательство:
Используя теорему синусов, запишем периметр треугольника: $a+b+c = 2R\sin A + 2R\sin B + 2R\sin C = 2R(\sin A + \sin B + \sin C)$.

Преобразуем сумму синусов. Для этого воспользуемся известным тождеством для углов треугольника ($A+B+C=\pi$): $\sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}$.

(Докажем это тождество):
$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$. Так как $A+B = \pi-C$, то $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$, и $\sin\frac{A+B}{2} = \cos\frac{C}{2}$. $\sin A + \sin B = 2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}$. $\sin C = 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$. Сумма: $2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2} + 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2} = 2\cos\frac{C}{2}(\cos\frac{A-B}{2}+\sin\frac{C}{2})$. Так как $\frac{C}{2} = \frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}$, то $\sin\frac{C}{2} = \cos\frac{A+B}{2}$. $2\cos\frac{C}{2}(\cos\frac{A-B}{2}+\cos\frac{A+B}{2})$. Применяя формулу суммы косинусов, получаем: $\cos\frac{A-B}{2}+\cos\frac{A+B}{2} = 2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}$. Итого: $2\cos\frac{C}{2}(2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}) = 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$.

Подставим это выражение в формулу для периметра: $a+b+c = 2R \left( 4 \cos\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2} \right) = 8R \cos\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}$.

Ответ: Равенство доказано.

е) $\cos^2 A = \sin^2 B + \cos^2 C - 2 \sin A \sin B \cos C$

Доказательство:
В силу того, что $A+B+C=\pi$, имеем $A = \pi - (B+C)$. Следовательно, $\cos A = \cos(\pi - (B+C)) = -\cos(B+C)$. Тогда $\cos^2 A = (-\cos(B+C))^2 = \cos^2(B+C) = (\cos B \cos C - \sin B \sin C)^2$.

Также $\sin A = \sin(\pi - (B+C)) = \sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$.

Подставим эти выражения в исходное равенство. Левая часть: $\cos^2 A = (\cos B \cos C - \sin B \sin C)^2 = \cos^2 B \cos^2 C - 2\sin B \cos B \sin C \cos C + \sin^2 B \sin^2 C$.

Правая часть: $\sin^2 B + \cos^2 C - 2 \sin A \sin B \cos C = \sin^2 B + \cos^2 C - 2(\sin B \cos C + \cos B \sin C)\sin B \cos C$ $= \sin^2 B + \cos^2 C - 2\sin^2 B \cos^2 C - 2\sin B \cos B \sin C \cos C$.

Приравняем левую и правую части и сократим общий член $-2\sin B \cos B \sin C \cos C$: $\cos^2 B \cos^2 C + \sin^2 B \sin^2 C = \sin^2 B + \cos^2 C - 2\sin^2 B \cos^2 C$. Перенесем член $- 2\sin^2 B \cos^2 C$ налево: $\cos^2 B \cos^2 C + 2\sin^2 B \cos^2 C + \sin^2 B \sin^2 C = \sin^2 B + \cos^2 C$. $\cos^2 C(\cos^2 B + 2\sin^2 B) + \sin^2 B \sin^2 C = \sin^2 B + \cos^2 C$. $\cos^2 C(\cos^2 B + \sin^2 B + \sin^2 B) + \sin^2 B \sin^2 C = \sin^2 B + \cos^2 C$. $\cos^2 C(1 + \sin^2 B) + \sin^2 B \sin^2 C = \sin^2 B + \cos^2 C$. $\cos^2 C + \cos^2 C \sin^2 B + \sin^2 B \sin^2 C = \sin^2 B + \cos^2 C$. $\cos^2 C + \sin^2 B (\cos^2 C + \sin^2 C) = \sin^2 B + \cos^2 C$. $\cos^2 C + \sin^2 B \cdot 1 = \sin^2 B + \cos^2 C$. Получили тождество.

Ответ: Равенство доказано.

ж) $r = 4R \sin\frac{A}{2} \sin\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2}$

Доказательство:
Используем две формулы для площади треугольника: $S = pr$ и $S = \frac{abc}{4R}$. Отсюда $r = \frac{S}{p}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ - полупериметр.

Из теоремы синусов $a=2R\sin A, b=2R\sin B, c=2R\sin C$. $S = \frac{(2R\sin A)(2R\sin B)(2R\sin C)}{4R} = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$.

Из пункта д) мы знаем, что $a+b+c = 8R \cos\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}$. Тогда полупериметр $p = 4R \cos\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}$.

Теперь найдем $r$: $r = \frac{S}{p} = \frac{2R^2 \sin A \sin B \sin C}{4R \cos\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}} = \frac{R}{2} \frac{\sin A \sin B \sin C}{\cos\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}}$.

Используем формулу двойного угла $\sin X = 2\sin\frac{X}{2}\cos\frac{X}{2}$ для каждого синуса в числителе: $r = \frac{R}{2} \frac{(2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2})(2\sin\frac{B}{2}\cos\frac{B}{2})(2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2})}{\cos\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}}$.

Сокращая одинаковые множители $\cos\frac{A}{2}, \cos\frac{B}{2}, \cos\frac{C}{2}$, получаем: $r = \frac{R}{2} \cdot 8 \sin\frac{A}{2} \sin\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2} = 4R \sin\frac{A}{2} \sin\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2}$.

Ответ: Равенство доказано.

з) $r = \frac{a \sin\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2}}{\cos\frac{A}{2}}$

Доказательство:
Воспользуемся результатом из пункта ж): $r = 4R \sin\frac{A}{2} \sin\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2}$.

Из теоремы синусов имеем $a = 2R \sin A$, откуда $2R = \frac{a}{\sin A}$.

Подставим выражение для $2R$ в формулу для $r$: $r = 2 \cdot (2R) \sin\frac{A}{2} \sin\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2} = 2 \left( \frac{a}{\sin A} \right) \sin\frac{A}{2} \sin\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2}$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin A = 2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}$: $r = 2 \left( \frac{a}{2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}} \right) \sin\frac{A}{2} \sin\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2}$.

Сократив $2$ и $\sin\frac{A}{2}$, получаем: $r = \frac{a \sin\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2}}{\cos\frac{A}{2}}$.

Ответ: Равенство доказано.

и) $AH = \frac{a}{4S}(b^2+c^2-a^2)$

Доказательство:
Известно, что расстояние от вершины до ортоцентра ($H$) равно $AH = 2R \cos A$.

Из теоремы косинусов, $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. Подставим это в формулу для $AH$: $AH = 2R \left( \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right) = R \frac{b^2+c^2-a^2}{bc}$.

Из формулы площади треугольника $S = \frac{abc}{4R}$ выразим радиус описанной окружности $R = \frac{abc}{4S}$.

Подставим это выражение для $R$ в формулу для $AH$: $AH = \left( \frac{abc}{4S} \right) \frac{b^2+c^2-a^2}{bc}$.

Сократив $b$ и $c$, получим: $AH = \frac{a}{4S}(b^2+c^2-a^2)$.

Ответ: Равенство доказано.

к) $OH^2 = 9R^2 - a^2 - b^2 - c^2$

Доказательство:
Это формула Эйлера для расстояния между центром описанной окружности $O$ и ортоцентром $H$. Известно, что $OH^2 = R^2(1 - 8 \cos A \cos B \cos C)$.

Также известно тождество для суммы квадратов синусов углов треугольника: $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2 + 2 \cos A \cos B \cos C$.

Сумма квадратов сторон треугольника: $a^2+b^2+c^2 = (2R\sin A)^2 + (2R\sin B)^2 + (2R\sin C)^2 = 4R^2(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C)$.

Подставим тождество для синусов в это выражение: $a^2+b^2+c^2 = 4R^2(2 + 2 \cos A \cos B \cos C) = 8R^2 + 8R^2 \cos A \cos B \cos C$.

Из последнего равенства выразим $8R^2 \cos A \cos B \cos C$: $8R^2 \cos A \cos B \cos C = a^2+b^2+c^2 - 8R^2$.

Теперь подставим это в формулу Эйлера: $OH^2 = R^2 - (8R^2 \cos A \cos B \cos C) = R^2 - (a^2+b^2+c^2 - 8R^2)$. $OH^2 = R^2 - a^2 - b^2 - c^2 + 8R^2 = 9R^2 - a^2 - b^2 - c^2$.

Ответ: Равенство доказано.

л) $DM = \frac{|b^2-c^2|}{2a}$

Доказательство:
Пусть $D$ - основание высоты, опущенной из вершины $A$ на сторону $BC$, а $M$ - середина стороны $BC$. Длина отрезка $BM$ равна $a/2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. По теореме Пифагора $AD^2 = c^2 - BD^2$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. По теореме Пифагора $AD^2 = b^2 - CD^2$.

Приравнивая выражения для $AD^2$, получаем $c^2 - BD^2 = b^2 - CD^2$. Мы знаем, что $CD = |BC - BD| = |a - BD|$. $c^2 - BD^2 = b^2 - (a-BD)^2 = b^2 - (a^2 - 2a \cdot BD + BD^2)$. $c^2 - BD^2 = b^2 - a^2 + 2a \cdot BD - BD^2$. $c^2 = b^2 - a^2 + 2a \cdot BD$. Отсюда выразим длину отрезка $BD$: $2a \cdot BD = a^2+c^2-b^2$. $BD = \frac{a^2+c^2-b^2}{2a}$. Это проекция стороны $c$ на сторону $a$.

Длина искомого отрезка $DM$ равна модулю разности длин отрезков $BM$ и $BD$: $DM = |BM - BD| = \left|\frac{a}{2} - \frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right|$.

Приведем к общему знаменателю: $DM = \left|\frac{a^2 - (a^2+c^2-b^2)}{2a}\right| = \left|\frac{a^2-a^2-c^2+b^2}{2a}\right| = \left|\frac{b^2-c^2}{2a}\right|$.

Используя свойство модуля $|x|=|-x|$, получаем: $DM = \frac{|b^2-c^2|}{2a}$.

Ответ: Равенство доказано.