Номер 844, страница 213 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

844. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках L, M и N. Докажите, что отношение площади треугольника LMN к площади треугольника АВС равно отношению радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС, к диаметру окружности, описанной около этого треугольника.

Пусть $S_{ABC}$ и $S_{LMN}$ — площади треугольников $ABC$ и $LMN$ соответственно. Пусть $r$ — радиус вписанной окружности треугольника $ABC$, а $R$ — радиус его описанной окружности. Центр вписанной окружности обозначим буквой $I$. Точки $L, M, N$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $BC, AC$ и $AB$ соответственно. Требуется доказать, что $\frac{S_{LMN}}{S_{ABC}} = \frac{r}{2R}$.

Доказательство:

1. Найдем площадь треугольника LMN.

Треугольник $LMN$ вписан во вписанную окружность треугольника $ABC$, радиус которой равен $r$. Найдем стороны и углы треугольника $LMN$. Рассмотрим четырехугольник $ANIM$. Поскольку $IN \perp AB$ и $IM \perp AC$, то углы $\angle ANI$ и $\angle AMI$ — прямые. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, поэтому $\angle NIM = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \angle A = 180^\circ - A$.

Аналогично, рассматривая четырехугольники $BNIL$ и $CMIL$, получаем: $\angle NIL = 180^\circ - B$ $\angle LIM = 180^\circ - C$

Стороны треугольника $LMN$ можно найти из равнобедренных треугольников $\triangle NIM, \triangle NIL, \triangle LIM$. Например, в $\triangle NIM$ стороны $IN = IM = r$. По теореме косинусов: $MN^2 = r^2 + r^2 - 2r \cdot r \cos(180^\circ - A) = 2r^2(1 - (-\cos A)) = 2r^2(1 + \cos A)$. Используя формулу половинного угла $1 + \cos A = 2\cos^2(\frac{A}{2})$, получаем: $MN^2 = 2r^2 \cdot 2\cos^2(\frac{A}{2}) = 4r^2\cos^2(\frac{A}{2})$, откуда $MN = 2r\cos(\frac{A}{2})$.

Аналогично находим другие стороны: $NL = 2r\cos(\frac{B}{2})$ $LM = 2r\cos(\frac{C}{2})$

Углы треугольника $LMN$ можно найти как вписанные углы в окружность с центром $I$. Например, угол $\angle NLM$ опирается на дугу $NM$, которой соответствует центральный угол $\angle NIM = 180^\circ - A$. Следовательно, $\angle NLM = \frac{1}{2}\angle NIM = \frac{180^\circ - A}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$. Аналогично: $\angle LMN = 90^\circ - \frac{B}{2}$ $\angle MNL = 90^\circ - \frac{C}{2}$

Теперь найдем площадь треугольника $LMN$ по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin C$: $S_{LMN} = \frac{1}{2} LM \cdot LN \sin(\angle NLM) = \frac{1}{2} (2r\cos\frac{C}{2}) (2r\cos\frac{B}{2}) \sin(90^\circ - \frac{A}{2})$ $S_{LMN} = 2r^2 \cos\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2} \cos\frac{A}{2}$.

2. Выразим площадь треугольника ABC через его углы, r и R.

Известна формула для площади треугольника $S_{ABC} = pr$, где $p$ — полупериметр. $p = \frac{a+b+c}{2}$. По теореме синусов, $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$. Тогда полупериметр: $p = \frac{2R\sin A + 2R\sin B + 2R\sin C}{2} = R(\sin A + \sin B + \sin C)$.

Используем тригонометрическое тождество для углов треугольника: $\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$. Подставим это в выражение для полупериметра: $p = 4R\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$.

Теперь подставим полученное выражение для $p$ в формулу площади $S_{ABC}$: $S_{ABC} = pr = (4R\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}) \cdot r = 4Rr\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$.

3. Найдем искомое отношение площадей.

Теперь разделим площадь треугольника $LMN$ на площадь треугольника $ABC$: $\frac{S_{LMN}}{S_{ABC}} = \frac{2r^2 \cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}}{4Rr\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}}$.

Сокращая общие множители $2, r, \cos\frac{A}{2}, \cos\frac{B}{2}, \cos\frac{C}{2}$, получаем: $\frac{S_{LMN}}{S_{ABC}} = \frac{r}{2R}$.

Это и есть отношение радиуса вписанной окружности ($r$) к диаметру описанной окружности ($2R$), что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отношение площади треугольника $LMN$ к площади треугольника $ABC$ действительно равно отношению радиуса вписанной в треугольник $ABC$ окружности к диаметру описанной около этого треугольника окружности: $\frac{S_{LMN}}{S_{ABC}} = \frac{r}{2R}$.