Номер 842, страница 213 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

842. Найдите площадь треугольника, если его высоты равны 3 см, 4 см и 6 см.

Обозначим стороны треугольника как $a, b, c$, а соответствующие им высоты, опущенные на эти стороны, как $h_a, h_b, h_c$.

По условию задачи даны высоты: $h_a = 3$ см, $h_b = 4$ см, $h_c = 6$ см.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Это можно записать для каждой из сторон:

$S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}bh_b = \frac{1}{2}ch_c$

Из этого равенства можно выразить стороны треугольника через его площадь $S$:

• $a = \frac{2S}{h_a} = \frac{2S}{3}$
• $b = \frac{2S}{h_b} = \frac{2S}{4} = \frac{S}{2}$
• $c = \frac{2S}{h_c} = \frac{2S}{6} = \frac{S}{3}$

Теперь воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника через его стороны: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2S}{3} + \frac{S}{2} + \frac{S}{3} \right)$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$p = \frac{1}{2} \left( \frac{4S}{6} + \frac{3S}{6} + \frac{2S}{6} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{4S + 3S + 2S}{6} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{9S}{6} = \frac{9S}{12} = \frac{3S}{4}$

Теперь вычислим выражения $(p-a)$, $(p-b)$ и $(p-c)$:

• $p-a = \frac{3S}{4} - \frac{2S}{3} = \frac{9S - 8S}{12} = \frac{S}{12}$
• $p-b = \frac{3S}{4} - \frac{S}{2} = \frac{3S - 2S}{4} = \frac{S}{4}$
• $p-c = \frac{3S}{4} - \frac{S}{3} = \frac{9S - 4S}{12} = \frac{5S}{12}$

Подставим все полученные значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{\frac{3S}{4} \cdot \frac{S}{12} \cdot \frac{S}{4} \cdot \frac{5S}{12}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$S^2 = \frac{3S}{4} \cdot \frac{S}{12} \cdot \frac{S}{4} \cdot \frac{5S}{12}$

$S^2 = \frac{3 \cdot 5 \cdot S^4}{4 \cdot 12 \cdot 4 \cdot 12} = \frac{15S^4}{2304}$

Так как площадь $S$ не может быть равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $S^2$:

$1 = \frac{15S^2}{2304}$

Отсюда выразим $S^2$:

$S^2 = \frac{2304}{15}$

Теперь найдем $S$, взяв квадратный корень:

$S = \sqrt{\frac{2304}{15}} = \frac{\sqrt{2304}}{\sqrt{15}} = \frac{48}{\sqrt{15}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$:

$S = \frac{48 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{48\sqrt{15}}{15}$

Сократим полученную дробь на 3:

$S = \frac{16\sqrt{15}}{5}$

Ответ: Площадь треугольника равна $\frac{16\sqrt{15}}{5}$ см$^2$.