Номер 849, страница 214 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

849. Отрезки АD, АН и АМ — биссектриса, высота и медиана треугольника АВС, вписанная в треугольник окружность касается стороны ВС в точке K. Докажите, что МK² = МD ⋅ МН.

Пусть в треугольнике $ABC$ длины сторон, противолежащих вершинам $A$, $B$, $C$, равны соответственно $a$, $b$, $c$. То есть $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$.Точки $D$ (основание биссектрисы), $H$ (основание высоты), $M$ (основание медианы) и $K$ (точка касания вписанной окружности) лежат на одной прямой — прямой $BC$. Для доказательства равенства $MK^2 = MD \cdot MH$ найдем длины отрезков $MD$, $MH$ и $MK$, выразив их через стороны треугольника.

Для этого введем на прямой $BC$ систему координат. Поместим начало отсчета в точку $M$ — середину стороны $BC$. Тогда координата точки $M$ равна $x_M = 0$. Так как $M$ — середина $BC$, то $BM = MC = a/2$. Пусть точка $B$ расположена левее точки $C$. Тогда их координаты равны $x_B = -a/2$ и $x_C = a/2$.

Найдем координату точки $H$, основания высоты $AH$. В прямоугольном треугольнике $AHC$, $CH = AC \cos(\angle C) = b \cos(\angle C)$. По теореме косинусов для $\triangle ABC$, $c^2 = a^2+b^2-2ab \cos(\angle C)$, откуда $\cos(\angle C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$. Следовательно, $CH = b \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2a}$. Координата точки $H$ вычисляется как $x_H = x_C - CH = a/2 - \frac{a^2+b^2-c^2}{2a} = \frac{a^2 - (a^2+b^2-c^2)}{2a} = \frac{c^2-b^2}{2a}$. Тогда длина отрезка $MH$ равна модулю разности координат $H$ и $M$: $MH = |x_H - x_M| = |x_H| = \left| \frac{c^2-b^2}{2a} \right|$.

Теперь найдем координату точки $D$, основания биссектрисы $AD$. По свойству биссектрисы треугольника, $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}$. Учитывая, что $BD+CD=a$, получаем систему, из которой находим $CD = \frac{ab}{b+c}$. Координата точки $D$ равна $x_D = x_C - CD = a/2 - \frac{ab}{b+c} = \frac{a(b+c) - 2ab}{2(b+c)} = \frac{ac-ab}{2(b+c)} = \frac{a(c-b)}{2(b+c)}$. Тогда длина отрезка $MD$ равна: $MD = |x_D - x_M| = |x_D| = \left| \frac{a(c-b)}{2(b+c)} \right|$.

Далее найдем координату точки $K$, точки касания вписанной окружности со стороной $BC$. Длина отрезка от вершины $C$ до точки касания $K$ вычисляется по формуле $CK = p-c$, где $p$ — полупериметр треугольника. $p = \frac{a+b+c}{2}$. Таким образом, $CK = \frac{a+b+c}{2} - c = \frac{a+b-c}{2}$. Координата точки $K$ равна $x_K = x_C - CK = a/2 - \frac{a+b-c}{2} = \frac{a-(a+b-c)}{2} = \frac{c-b}{2}$. Тогда длина отрезка $MK$ равна: $MK = |x_K - x_M| = |x_K| = \left| \frac{c-b}{2} \right|$.

Наконец, подставим найденные выражения для длин отрезков в доказываемое равенство $MK^2 = MD \cdot MH$.Левая часть равенства:$MK^2 = \left( \left| \frac{c-b}{2} \right| \right)^2 = \frac{(c-b)^2}{4}$.Правая часть равенства:$MD \cdot MH = \left| \frac{a(c-b)}{2(b+c)} \right| \cdot \left| \frac{c^2-b^2}{2a} \right| = \frac{a|c-b|}{2(b+c)} \cdot \frac{|(c-b)(c+b)|}{2a}$.Так как $b$ и $c$ — длины сторон, то $b+c>0$. Сокращая общие множители $a$ и $(b+c)$ в числителе и знаменателе, получаем:$MD \cdot MH = \frac{|c-b| \cdot |c-b|(c+b)}{4(b+c)} = \frac{(c-b)^2}{4}$.Сравнение левой и правой частей показывает, что они равны: $\frac{(c-b)^2}{4} = \frac{(c-b)^2}{4}$.Таким образом, равенство $MK^2 = MD \cdot MH$ является верным.

Ответ: Равенство доказано.