Номер 852, страница 218 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

852. Биссектрисы внешних углов А, В и С треугольника АВС пересекают продолжения противоположных сторон в точках А₁, В₁ и С₁. Докажите, что точки А₁, В₁ и С₁ лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой, воспользуемся теоремой Менелая, обратной к теореме о трансверсали для треугольника $ABC$.

Теорема Менелая гласит, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, лежащие на прямых $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно (или их продолжениях), коллинеарны тогда и только тогда, когда выполняется соотношение:

$$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $$

Нам нужно найти каждое из этих отношений, используя свойство биссектрисы внешнего угла треугольника. Свойство гласит, что биссектриса внешнего угла треугольника делит противолежащую сторону (внешним образом) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Обозначим длины сторон треугольника $ABC$ как $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$.

1. Рассматриваем точку $A_1$

Точка $A_1$ — это точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине $A$ с продолжением стороны $BC$. По свойству биссектрисы внешнего угла для треугольника $ABC$ и биссектрисы из вершины $A$:

$$ \frac{BA_1}{CA_1} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b} $$ Поскольку точка $A_1$ лежит на продолжении $BC$, $A_1C$ — это то же самое, что и $CA_1$. Следовательно:

$$ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{c}{b} $$

2. Рассматриваем точку $B_1$

Точка $B_1$ — это точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине $B$ с продолжением стороны $AC$. По свойству биссектрисы внешнего угла для треугольника $ABC$ и биссектрисы из вершины $B$:

$$ \frac{CB_1}{AB_1} = \frac{CB}{AB} = \frac{a}{c} $$ Так как точка $B_1$ лежит на продолжении $AC$, $B_1A$ — это то же самое, что и $AB_1$. Следовательно:

$$ \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{a}{c} $$

3. Рассматриваем точку $C_1$

Точка $C_1$ — это точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине $C$ с продолжением стороны $AB$. По свойству биссектрисы внешнего угла для треугольника $ABC$ и биссектрисы из вершины $C$:

$$ \frac{AC_1}{BC_1} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a} $$ Так как точка $C_1$ лежит на продолжении $AB$, $C_1B$ — это то же самое, что и $BC_1$. Следовательно:

$$ \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{b}{a} $$

4. Проверка условия теоремы Менелая

Теперь подставим полученные отношения в левую часть равенства из теоремы Менелая:

$$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} $$

Сокращая дроби, получаем:

$$ \frac{b \cdot c \cdot a}{a \cdot b \cdot c} = 1 $$

Так как равенство выполняется, по обратной теореме Менелая точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

Ответ: Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.