Номер 857, страница 218 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

857. Окружность с центром О касается двух неравных окружностей с центрами О₁ и О₂ в точках А₁ и А₂ соответственно. Докажите, что прямая А₁А₂ проходит через точку пересечения прямой О₁О₂ и общей касательной (внешней или внутренней) к окружностям с центрами О₁ и О₂.

Пусть $\omega$ — окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ — две неравные окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и радиусами $r_1$ и $r_2$ соответственно ($r_1 \neq r_2$). Окружность $\omega$ касается окружности $\omega_1$ в точке $A_1$, а окружности $\omega_2$ — в точке $A_2$. Требуется доказать, что прямая $A_1A_2$ проходит через точку пересечения прямой $O_1O_2$ и общей касательной к окружностям $\omega_1$ и $\omega_2$.

Точка пересечения общих касательных двух окружностей с линией их центров является центром гомотетии (центром подобия) этих окружностей. Существует два таких центра: внешний (точка пересечения внешних касательных) и внутренний (точка пересечения внутренних касательных). Доказательство основано на свойствах гомотетии.

Точка касания двух окружностей является центром их гомотетии.

• Поскольку окружности $\omega$ и $\omega_1$ касаются в точке $A_1$, точка $A_1$ является центром гомотетии $H_1$, переводящей окружность $\omega_1$ в окружность $\omega$.
• Аналогично, точка $A_2$ является центром гомотетии $H_2$, переводящей окружность $\omega_2$ в окружность $\omega$.

Рассмотрим композицию гомотетий $H = H_2^{-1} \circ H_1$. Гомотетия $H_1$ переводит $\omega_1$ в $\omega$, а гомотетия $H_2^{-1}$ (обратная к $H_2$) переводит $\omega$ в $\omega_2$. Таким образом, композиция $H$ переводит окружность $\omega_1$ в окружность $\omega_2$.

Поскольку $r_1 \neq r_2$, коэффициент гомотетии $H$ не равен 1, и, следовательно, $H$ является гомотетией, а не параллельным переносом. Центр композиции двух гомотетий лежит на прямой, соединяющей их центры. В нашем случае центр гомотетии $H$ лежит на прямой $A_1A_2$.

С другой стороны, поскольку гомотетия $H$ переводит окружность $\omega_1$ в $\omega_2$, ее центр должен быть одним из центров подобия окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Все центры подобия двух окружностей лежат на линии, соединяющей их центры, то есть на прямой $O_1O_2$.

Таким образом, центр гомотетии $H$ является точкой пересечения прямых $A_1A_2$ и $O_1O_2$. Этот центр также является точкой пересечения общей касательной к $\omega_1$ и $\omega_2$ с прямой $O_1O_2$.

Рассмотрим два возможных случая, чтобы определить, о какой именно касательной (внешней или внутренней) идет речь.

1. Касания окружности $\omega$ с окружностями $\omega_1$ и $\omega_2$ одного типа (оба внешние или оба внутренние).
Коэффициент гомотетии $H_1$ с центром в точке касания $A_1$ равен $k_1 = R/r_1$, если касание внутреннее, и $k_1 = -R/r_1$, если касание внешнее. Аналогично для гомотетии $H_2$: $k_2 = R/r_2$ или $k_2 = -R/r_2$. Если типы касаний одинаковы, то знаки $k_1$ и $k_2$ совпадают. Коэффициент гомотетии $H_2^{-1}$ равен $1/k_2$. Коэффициент композиции $H$ равен $k = k_1 \cdot (1/k_2) = k_1/k_2$.Поскольку знаки $k_1$ и $k_2$ одинаковы, их отношение $k$ положительно: $k = ( \pm R/r_1) / ( \pm R/r_2) = r_2/r_1 > 0$.Гомотетия с положительным коэффициентом соответствует внешнему центру подобия. Этот центр является точкой пересечения внешних общих касательных к окружностям $\omega_1$ и $\omega_2$ с прямой $O_1O_2$.

2. Касания окружности $\omega$ с окружностями $\omega_1$ и $\omega_2$ разного типа (одно внешнее, другое внутреннее).
В этом случае знаки коэффициентов $k_1$ и $k_2$ противоположны. Коэффициент композиции $H$ равен $k = k_1/k_2$. Поскольку $k_1$ и $k_2$ имеют разные знаки, их отношение $k$ отрицательно: $k = ( \pm R/r_1) / ( \mp R/r_2) = -r_2/r_1 < 0$.Гомотетия с отрицательным коэффициентом соответствует внутреннему центру подобия. Этот центр является точкой пересечения внутренних общих касательных к окружностям $\omega_1$ и $\omega_2$ с прямой $O_1O_2$.

В обоих случаях мы доказали, что прямая $A_1A_2$ проходит через центр подобия окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$, который является точкой пересечения их общей касательной (внешней или внутренней) и прямой $O_1O_2$.

Ответ: Что и требовалось доказать.