Номер 860, страница 219 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

860. Окружность пересекает сторону ВС треугольника АВС в точках А₁ и А₂, сторону АС — в точках В₁ и В₂, сторону АВ — в точках С₁ и С₂. Докажите, что отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки АА₂, ВВ₂ и СС₂ пересекаются в одной точке.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой Чевы и свойством степени точки относительно окружности.

Теорема Чевы утверждает, что для треугольника $ABC$ отрезки (чевианы) $AA'$, $BB'$, $CC'$, где $A'$ лежит на стороне $BC$, $B'$ на $AC$ и $C'$ на $AB$, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется следующее соотношение для длин отрезков:

$$ \frac{AC'}{C'B} \cdot \frac{BA'}{A'C} \cdot \frac{CB'}{B'A} = 1 $$

Применим теорему Чевы к двум наборам чевиан из условия задачи.

1. Для отрезков $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ условие пересечения в одной точке (согласно теореме Чевы) выглядит так:

$$ P_1 = \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 \quad (1) $$

2. Для отрезков $AA_2$, $BB_2$ и $CC_2$ условие пересечения в одной точке имеет вид:

$$ P_2 = \frac{AC_2}{C_2B} \cdot \frac{BA_2}{A_2C} \cdot \frac{CB_2}{B_2A} = 1 \quad (2) $$

Нам необходимо доказать, что условие (1) выполняется тогда и только тогда, когда выполняется условие (2).

Теперь используем условие, что точки $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ лежат на одной окружности. Рассмотрим степени вершин треугольника $A, B, C$ относительно этой окружности. Степень точки — это произведение длин отрезков секущей, проведенной из точки к окружности.

• Для вершины $A$ и секущих $AC$ (проходящей через $B_1, B_2$) и $AB$ (проходящей через $C_1, C_2$):
  $AB_1 \cdot AB_2 = AC_1 \cdot AC_2$. Заметим, что в наших формулах длины отрезков $B_1A$ и $B_2A$ равны $AB_1$ и $AB_2$ соответственно.
• Для вершины $B$ и секущих $BA$ (проходящей через $C_1, C_2$) и $BC$ (проходящей через $A_1, A_2$):
  $BC_1 \cdot BC_2 = BA_1 \cdot BA_2$. Здесь $C_1B = BC_1$ и $C_2B = BC_2$.
• Для вершины $C$ и секущих $CB$ (проходящей через $A_1, A_2$) и $CA$ (проходящей через $B_1, B_2$):
  $CA_1 \cdot CA_2 = CB_1 \cdot CB_2$. Здесь $A_1C = CA_1$ и $A_2C = CA_2$.

Из этих равенств, полученных из свойства степени точки, следуют соотношения:

$$ \frac{AC_1 \cdot AC_2}{AB_1 \cdot AB_2} = 1 \quad (A) $$

$$ \frac{BA_1 \cdot BA_2}{BC_1 \cdot BC_2} = 1 \quad (B) $$

$$ \frac{CB_1 \cdot CB_2}{CA_1 \cdot CA_2} = 1 \quad (C) $$

Рассмотрим произведение выражений $P_1$ и $P_2$:

$$ P_1 \cdot P_2 = \left(\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A}\right) \cdot \left(\frac{AC_2}{C_2B} \cdot \frac{BA_2}{A_2C} \cdot \frac{CB_2}{B_2A}\right) $$

Сгруппируем сомножители, используя равенства для длин отрезков ($C_1B = BC_1$, $A_1C = CA_1$, $B_1A = AB_1$ и т.д.):

$$ P_1 \cdot P_2 = \frac{(AC_1 \cdot AC_2) \cdot (BA_1 \cdot BA_2) \cdot (CB_1 \cdot CB_2)}{(BC_1 \cdot BC_2) \cdot (CA_1 \cdot CA_2) \cdot (AB_1 \cdot AB_2)} $$

Перегруппируем множители в знаменателе и числителе, чтобы использовать соотношения (A), (B), (C):

$$ P_1 \cdot P_2 = \left(\frac{AC_1 \cdot AC_2}{AB_1 \cdot AB_2}\right) \cdot \left(\frac{BA_1 \cdot BA_2}{BC_1 \cdot BC_2}\right) \cdot \left(\frac{CB_1 \cdot CB_2}{CA_1 \cdot CA_2}\right) $$

Теперь подставим в это выражение равенства (A), (B) и (C):

$$ P_1 \cdot P_2 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $$

Мы получили ключевое соотношение: $P_1 \cdot P_2 = 1$.

Теперь докажем утверждение "тогда и только тогда".

Прямое утверждение ($\Rightarrow$):Пусть отрезки $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке. Тогда по теореме Чевы $P_1 = 1$. Из соотношения $P_1 \cdot P_2 = 1$ следует, что $1 \cdot P_2 = 1$, откуда $P_2 = 1$. По обратной теореме Чевы, из $P_2 = 1$ следует, что отрезки $AA_2, BB_2, CC_2$ также пересекаются в одной точке.

Обратное утверждение ($\Leftarrow$):Пусть отрезки $AA_2, BB_2, CC_2$ пересекаются в одной точке. Тогда по теореме Чевы $P_2 = 1$. Из соотношения $P_1 \cdot P_2 = 1$ следует, что $P_1 \cdot 1 = 1$, откуда $P_1 = 1$. По обратной теореме Чевы, из $P_1 = 1$ следует, что отрезки $AA_1, BB_1, CC_1$ также пересекаются в одной точке.

Таким образом, мы доказали, что одно условие выполняется тогда и только тогда, когда выполняется другое.

Ответ: Утверждение, вынесенное в условие задачи, полностью доказано.