Номер 861, страница 219 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

861. На стороне АС треугольника АВС отмечены точки Р и Е, а на стороне ВС — точки М и K, причём АР : РЕ : ЕС = СK : KМ : МВ. Отрезки АМ и ВР пересекаются в точке О, а отрезки АK и ВЕ — в точке Т. Докажите, что точки О, Т и С лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки O, T и C лежат на одной прямой, мы воспользуемся методом масс (также известным как метод барицентрических координат). Суть метода заключается в том, чтобы представить точки O и T как центры масс некоторых систем, расположенных в вершинах треугольника ABC. Если окажется, что векторы $\vec{CO}$ и $\vec{CT}$ коллинеарны, это будет означать, что точки C, O, T лежат на одной прямой.

1. Введение обозначений и нахождение отношений.

Пусть из условия $AP:PE:EC = CK:KM:MB$ следует, что эти отношения равны $p:q:r$ для некоторых положительных чисел $p, q, r$.

Точки на стороне $AC$ расположены в порядке A-P-E-C. Тогда можно записать длины отрезков как $AP = kp$, $PE = kq$, $EC = kr$ для некоторого коэффициента $k>0$. Отсюда получаем следующие отношения:

• $PC = PE + EC = kq + kr = k(q+r)$, значит $\frac{AP}{PC} = \frac{kp}{k(q+r)} = \frac{p}{q+r}$.
• $AE = AP + PE = kp + kq = k(p+q)$, значит $\frac{AE}{EC} = \frac{k(p+q)}{kr} = \frac{p+q}{r}$.

Точки на стороне $BC$ расположены в порядке C-K-M-B. Тогда $CK = mp$, $KM = mq$, $MB = mr$ для некоторого коэффициента $m>0$. Отсюда получаем:

• $CM = CK + KM = mp + mq = m(p+q)$, значит $\frac{CM}{MB} = \frac{m(p+q)}{mr} = \frac{p+q}{r}$.
• $KB = KM + MB = mq + mr = m(q+r)$, значит $\frac{CK}{KB} = \frac{mp}{m(q+r)} = \frac{p}{q+r}$.

2. Нахождение центра масс O.

Точка O — точка пересечения отрезков $AM$ и $BP$. В методе масс это означает, что O является центром масс для системы из трех тел, расположенных в вершинах A, B, C с массами $m_A, m_B, m_C$.

Условие равновесия для рычага AC с точкой опоры P: $m_A \cdot AP = m_C \cdot PC \implies \frac{m_A}{m_C} = \frac{PC}{AP} = \frac{q+r}{p}$.

Условие равновесия для рычага BC с точкой опоры M: $m_B \cdot MB = m_C \cdot CM \implies \frac{m_B}{m_C} = \frac{CM}{MB} = \frac{p+q}{r}$.

Для удобства выберем массу $m_C$ так, чтобы избавиться от знаменателей. Пусть $m_C = pr$. Тогда:

• $m_A = m_C \cdot \frac{q+r}{p} = pr \cdot \frac{q+r}{p} = r(q+r)$.
• $m_B = m_C \cdot \frac{p+q}{r} = pr \cdot \frac{p+q}{r} = p(p+q)$.

Таким образом, точка O является центром масс для системы $(A, r(q+r)), (B, p(p+q)), (C, pr)$. Если принять точку C за начало координат, то радиус-вектор точки O будет равен:

$\vec{CO} = \frac{m_A \vec{CA} + m_B \vec{CB}}{m_A + m_B + m_C} = \frac{r(q+r)\vec{CA} + p(p+q)\vec{CB}}{r(q+r) + p(p+q) + pr}$

3. Нахождение центра масс T.

Точка T — точка пересечения отрезков $AK$ и $BE$. Аналогично, T — центр масс для другой системы масс $m'_A, m'_B, m'_C$.

Условие равновесия для рычага AC с точкой опоры E: $m'_A \cdot AE = m'_C \cdot EC \implies \frac{m'_A}{m'_C} = \frac{EC}{AE} = \frac{r}{p+q}$.

Условие равновесия для рычага BC с точкой опоры K: $m'_B \cdot BK = m'_C \cdot CK \implies \frac{m'_B}{m'_C} = \frac{CK}{BK} = \frac{p}{q+r}$.

Выберем массу $m'_C$ так, чтобы избавиться от знаменателей. Пусть $m'_C = (p+q)(q+r)$. Тогда:

• $m'_A = m'_C \cdot \frac{r}{p+q} = (p+q)(q+r) \cdot \frac{r}{p+q} = r(q+r)$.
• $m'_B = m'_C \cdot \frac{p}{q+r} = (p+q)(q+r) \cdot \frac{p}{q+r} = p(p+q)$.

Таким образом, точка T является центром масс для системы $(A, r(q+r)), (B, p(p+q)), (C, (p+q)(q+r))$. Радиус-вектор точки T из начала координат в C:

$\vec{CT} = \frac{m'_A \vec{CA} + m'_B \vec{CB}}{m'_A + m'_B + m'_C} = \frac{r(q+r)\vec{CA} + p(p+q)\vec{CB}}{r(q+r) + p(p+q) + (p+q)(q+r)}$

4. Доказательство коллинеарности.

Сравним выражения для векторов $\vec{CO}$ и $\vec{CT}$. Векторная часть в числителях обоих выражений одинакова:

$\vec{V} = r(q+r)\vec{CA} + p(p+q)\vec{CB}$

Так как A, B, C — вершины треугольника, векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ не коллинеарны, а значит $\vec{V} \neq \vec{0}$.

Тогда мы можем записать:

$\vec{CO} = \frac{1}{M_O} \vec{V}$, где $M_O = r(q+r) + p(p+q) + pr$ — полная масса для системы O.

$\vec{CT} = \frac{1}{M_T} \vec{V}$, где $M_T = r(q+r) + p(p+q) + (p+q)(q+r)$ — полная масса для системы T.

Поскольку оба вектора, $\vec{CO}$ и $\vec{CT}$, являются произведением одного и того же ненулевого вектора $\vec{V}$ на некоторые скалярные коэффициенты ($\frac{1}{M_O}$ и $\frac{1}{M_T}$), то векторы $\vec{CO}$ и $\vec{CT}$ коллинеарны. Так как они имеют общее начало в точке C, то точки O, T и C лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точки O, T и C лежат на одной прямой.