Номер 866, страница 228 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

866. Асимптоты гиперболы проходят через начало координат и составляют с осью Ох углы в 60°. Расстояние между фокусами, лежащими на оси Ох, равно 4. а) Напишите уравнение этой гиперболы в системе координат Оху. б) Найдите эксцентриситет гиперболы. в) Напишите уравнения директрис гиперболы в системе координат Оху.

а) Поскольку фокусы гиперболы лежат на оси $Ox$, а ее асимптоты проходят через начало координат, центр гиперболы находится в точке $(0, 0)$. Каноническое уравнение такой гиперболы имеет вид: $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $, где $a$ – действительная полуось, а $b$ – мнимая полуось.

Уравнения асимптот для этой гиперболы: $y = \pm \frac{b}{a}x$. Тангенс угла $\alpha$, который асимптоты образуют с положительным направлением оси $Ox$, равен модулю их углового коэффициента, то есть $\tan(\alpha) = \frac{b}{a}$. По условию задачи, $\alpha = 60^\circ$. Таким образом, мы можем найти отношение полуосей: $ \frac{b}{a} = \tan(60^\circ) = \sqrt{3} $. Отсюда получаем соотношение: $b = a\sqrt{3}$.

Расстояние между фокусами $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0)$ равно $2c$. По условию, это расстояние равно 4. Следовательно, $2c = 4$, откуда фокусное расстояние $c = 2$.

Для любой гиперболы параметры $a$, $b$ и $c$ связаны соотношением $c^2 = a^2 + b^2$. Используя известные нам зависимости, составим систему уравнений для нахождения $a$ и $b$:
1) $b = a\sqrt{3}$
2) $c^2 = a^2 + b^2$
Подставим $c=2$ и выражение для $b$ из первого уравнения во второе:
$2^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2$
$4 = a^2 + 3a^2$
$4 = 4a^2$
$a^2 = 1$, что означает $a = 1$ (так как длина полуоси $a$ должна быть положительной).

Теперь найдем квадрат мнимой полуоси $b^2$, используя $a^2 = 1$:
$b^2 = (a\sqrt{3})^2 = 3a^2 = 3 \cdot 1 = 3$.

Подставляя найденные значения $a^2 = 1$ и $b^2 = 3$ в каноническое уравнение, получаем искомое уравнение гиперболы.
Ответ: $ \frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1 $, или $ x^2 - \frac{y^2}{3} = 1 $.

б) Эксцентриситет гиперболы $\varepsilon$ вычисляется по формуле $\varepsilon = \frac{c}{a}$. Подставляя известные значения $c=2$ и $a=1$, получаем: $ \varepsilon = \frac{2}{1} = 2 $.
Ответ: $ \varepsilon = 2 $.

в) Уравнения директрис для гиперболы с фокусами на оси $Ox$ имеют вид $x = \pm \frac{a}{\varepsilon}$. Подставляя найденные значения $a=1$ и $\varepsilon=2$, находим уравнения директрис: $ x = \pm \frac{1}{2} $.
Ответ: $ x = \frac{1}{2} $ и $ x = -\frac{1}{2} $.