Номер 3, страница 229 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

3. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (рис. 230).

Для нахождения площади треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, можно использовать один из двух удобных методов.

Способ 1: Метод достраивания до прямоугольника

Этот метод основан на том, чтобы "заключить" треугольник в прямоугольник, стороны которого идут вдоль линий сетки, а затем вычесть из площади этого прямоугольника площади лишних частей.

1. Построим прямоугольник, который будет содержать наш треугольник. Стороны прямоугольника должны быть параллельны линиям сетки, и каждая вершина треугольника должна касаться стороны прямоугольника.

   Из рисунка видно, что по горизонтали треугольник занимает 5 клеток, а по вертикали — 3 клетки. Размер одной клетки 1 см ? 1 см. Таким образом, мы получаем прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см.

2. Найдём площадь этого прямоугольника ($S_{прям}$):
   $S_{прям} = 5 \text{ см} \times 3 \text{ см} = 15 \text{ см}^2$.

3. Прямоугольник состоит из нашего треугольника и трёх других, прямоугольных треугольников по углам. Найдём их площади.

   • Треугольник 1 (вверху слева): Это прямоугольный треугольник, катеты которого равны 2 см и 3 см. Его площадь $S_1$ равна:
     $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3 \text{ см}^2$.

   • Треугольник 2 (вверху справа): Это прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 2 см. Его площадь $S_2$ равна:
     $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3 \text{ см}^2$.

   • Треугольник 3 (внизу): Это прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 1 см. Его площадь $S_3$ равна:
     $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 = 2,5 \text{ см}^2$.

4. Чтобы найти площадь искомого треугольника ($S_{иск}$), нужно из площади большого прямоугольника вычесть сумму площадей трёх маленьких треугольников:
   $S_{иск} = S_{прям} - (S_1 + S_2 + S_3)$
   $S_{иск} = 15 - (3 + 3 + 2,5) = 15 - 8,5 = 6,5 \text{ см}^2$.

Ответ: 6,5 см².

Способ 2: Формула Пика

Формула Пика — это элегантный способ для вычисления площади многоугольника, все вершины которого находятся в узлах целочисленной решётки (на пересечениях линий сетки).

Формула выглядит так: $S = I + \frac{B}{2} - 1$, где:

• $I$ — количество узлов сетки, находящихся строго внутри многоугольника.
• $B$ — количество узлов сетки, лежащих на границах многоугольника (включая вершины).

1. Найдём число узлов на границе треугольника ($B$).
   На сторонах треугольника, кроме его вершин, нет других узлов сетки. Вершин у треугольника 3.
   Следовательно, $B = 3$.

2. Найдём число узлов внутри треугольника ($I$).
   Если внимательно посчитать точки на рисунке, то мы увидим, что внутри треугольника находится ровно 6 узлов сетки.

3. Подставим найденные значения $I=6$ и $B=3$ в формулу Пика:
   $S = 6 + \frac{3}{2} - 1 = 6 + 1,5 - 1 = 5 + 1,5 = 6,5 \text{ см}^2$.

Ответ: 6,5 см².