Номер 870, страница 228 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

870. Исследуйте взаимное расположение параболы у = х² и окружности радиуса R с центром в точке (0; R) в зависимости от R.

Для исследования взаимного расположения параболы и окружности необходимо найти количество их точек пересечения. Точки пересечения являются решениями системы уравнений, описывающих данные кривые.

Уравнение параболы задано как $y = x^2$.

Уравнение окружности с центром в точке $(0; R)$ и радиусом $R$ (при $R > 0$) имеет вид: $(x-0)^2 + (y-R)^2 = R^2$, что упрощается до $x^2 + (y-R)^2 = R^2$.

Для нахождения точек пересечения решим систему уравнений:

$$\begin{cases} y = x^2 \\ x^2 + (y-R)^2 = R^2\end{cases}$$

Подставим выражение для $x^2$ из первого уравнения во второе:

$y + (y-R)^2 = R^2$

Раскроем скобки и преобразуем полученное уравнение относительно переменной $y$:

$y + y^2 - 2Ry + R^2 = R^2$

$y^2 + y(1 - 2R) = 0$

Вынесем $y$ за скобки, чтобы найти корни:

$y(y + 1 - 2R) = 0$

Это уравнение дает два возможных значения для ординаты $y$ точек пересечения:

$y_1 = 0$

$y_2 = 2R - 1$

Теперь необходимо найти соответствующие значения абсциссы $x$ из уравнения параболы $x^2 = y$. Поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным, решения для $x$ существуют только при условии $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 0$ всегда неотрицателен. При $y=0$ получаем $x^2 = 0$, откуда $x=0$. Следовательно, точка $(0; 0)$ является общей точкой параболы и окружности при любом $R > 0$.

Рассмотрим второй корень $y_2 = 2R - 1$. Существование действительных решений для $x$ зависит от знака $y_2$. Проанализируем все возможные случаи в зависимости от значения радиуса $R$.

1. Случай $0 < R < 1/2$

При таких значениях $R$ имеем $2R < 1$, следовательно, $y_2 = 2R - 1 < 0$. Так как ордината точки пересечения не может быть отрицательной (поскольку $y=x^2 \ge 0$), этот корень не дает действительных точек пересечения. Единственным решением остается $y_1=0$, которому соответствует точка $(0; 0)$.

Ответ: При $0 < R < 1/2$ парабола и окружность имеют одну общую точку (точку касания) - $(0; 0)$.

2. Случай $R = 1/2$

В этом случае $y_2 = 2R - 1 = 2(1/2) - 1 = 0$. Оба корня для $y$ совпадают: $y_1 = y_2 = 0$. Уравнение для $x$ также дает единственное решение: $x^2=0 \implies x=0$. Таким образом, парабола и окружность по-прежнему имеют только одну общую точку $(0; 0)$. В этом случае окружность является соприкасающейся для параболы в ее вершине, что соответствует касанию более высокого порядка.

Ответ: При $R = 1/2$ парабола и окружность имеют одну общую точку (точку касания) - $(0; 0)$.

3. Случай $R > 1/2$

При таких значениях $R$ имеем $2R > 1$, следовательно, $y_2 = 2R - 1 > 0$. В этом случае оба корня для $y$ действительны и неотрицательны, и они различны ($y_1 = 0$, $y_2 > 0$).

Корень $y_1 = 0$ дает одну точку пересечения $(0; 0)$.

Корень $y_2 = 2R - 1$ дает уравнение $x^2 = 2R - 1$. Поскольку $2R-1 > 0$, это уравнение имеет два различных действительных корня: $x_1 = \sqrt{2R-1}$ и $x_2 = -\sqrt{2R-1}$. Это соответствует двум симметричным точкам пересечения: $(\sqrt{2R-1}; 2R-1)$ и $(-\sqrt{2R-1}; 2R-1)$.

Таким образом, в этом случае парабола и окружность имеют три различные точки пересечения.

Ответ: При $R > 1/2$ парабола и окружность имеют три точки пересечения: $(0; 0)$, $(\sqrt{2R-1}; 2R-1)$ и $(-\sqrt{2R-1}; 2R-1)$.