Номер 4, страница 229 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

4. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (рис. 231).

Для нахождения площади треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, можно использовать несколько способов. Размер одной клетки составляет 1 см ? 1 см, следовательно, площадь одной клетки равна 1 см?.

Способ 1: Метод достроения и вычитания площадей

Этот метод заключается в том, чтобы вычислить площадь треугольника через площади более простых фигур, таких как прямоугольники и трапеции, которые легко посчитать на клетчатой бумаге.

1. Введем систему координат. Поместим начало координат (0,0) в левый нижний угол сетки, изображенной на рисунке. Тогда вершины треугольника будут иметь следующие координаты: A(1, 1), B(3, 4) и C(6, 5).

2. Площадь искомого треугольника можно выразить через площади трапеций, которые образуются при проектировании его вершин на ось Ox. Пусть A', B', C' — проекции точек A, B, C на ось Ox, тогда A'(1, 0), B'(3, 0), C'(6, 0).

Площадь треугольника ABC равна сумме площадей трапеций ABB'A' и BCC'B' минус площадь трапеции ACC'A':$S_{ABC} = S_{ABB'A'} + S_{BCC'B'} - S_{ACC'A'}$

3. Вычислим площади этих трапеций по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

• Трапеция ABB'A' имеет основания $AA' = 1$ и $BB' = 4$, а высоту $A'B' = 3-1=2$. Ее площадь: $S_{ABB'A'} = \frac{1+4}{2} \cdot 2 = 5$ см?.
• Трапеция BCC'B' имеет основания $BB' = 4$ и $CC' = 5$, а высоту $B'C' = 6-3=3$. Ее площадь: $S_{BCC'B'} = \frac{4+5}{2} \cdot 3 = 4.5 \cdot 3 = 13.5$ см?.
• Трапеция ACC'A' имеет основания $AA' = 1$ и $CC' = 5$, а высоту $A'C' = 6-1=5$. Ее площадь: $S_{ACC'A'} = \frac{1+5}{2} \cdot 5 = 3 \cdot 5 = 15$ см?.

4. Теперь найдем площадь треугольника ABC:$S_{ABC} = 5 \text{ см}^2 + 13.5 \text{ см}^2 - 15 \text{ см}^2 = 3.5 \text{ см}^2$.

Ответ: 3,5 см?.

Способ 2: Формула Пика

Формула Пика — это простой способ нахождения площади многоугольника, все вершины которого расположены в узлах координатной сетки. Формула выглядит так: $S = В + \frac{Г}{2} - 1$, где $В$ — это количество узлов сетки внутри многоугольника, а $Г$ — количество узлов на его границе.

1. Найдем количество узлов на границе треугольника ($Г$). Граница состоит из трех отрезков. Вершины треугольника (1,1), (3,4), (6,5) лежат в узлах сетки. Между вершинами на сторонах треугольника других узлов нет.Всего на границе треугольника 3 узла (это его вершины). Таким образом, $Г = 3$.

2. Найдем количество узлов внутри треугольника ($В$). Посмотрев на рисунок, можно посчитать все узлы сетки, которые находятся строго внутри фигуры. Это точки с координатами: (2,2), (3,3), (4,4).Всего внутри треугольника 3 узла. Таким образом, $В = 3$.

3. Подставим найденные значения в формулу Пика:$S = 3 + \frac{3}{2} - 1 = 3 + 1.5 - 1 = 3.5$.

Поскольку площадь одной клетки равна 1 см?, то площадь треугольника равна 3,5 см?.

Ответ: 3,5 см?.