Номер 869, страница 228 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Некоторые сведения из планиметрии. Параграф 4. Эллипс, гипербола и парабола - номер 869, страница 228.

Условие.

869. Парабола задана уравнением у = ах² + bу + с. Напишите уравнение директрисы этой параболы и найдите координаты её фокуса.

Решение 2.

Решение 6.

Для того чтобы найти уравнение директрисы и координаты фокуса параболы, заданной общим уравнением $y = ax^2 + bx + c$, необходимо привести это уравнение к каноническому виду $(x - h)^2 = 4p(y - k)$. В этом уравнении точка $(h, k)$ является вершиной параболы, а $p$ — фокальным параметром.

Выполним приведение уравнения к каноническому виду путем выделения полного квадрата по переменной $x$:

1. Исходное уравнение: $y = ax^2 + bx + c$.

2. Перенесем $c$ в левую часть и вынесем $a$ за скобки в правой:

$y - c = a(x^2 + \frac{b}{a}x)$

3. Чтобы в скобках получить полный квадрат, добавим к обеим частям уравнения слагаемое $a(\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a}$:

$y - c + \frac{b^2}{4a} = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)$

4. Упростим левую часть и свернем правую в полный квадрат:

$y - \frac{4ac - b^2}{4a} = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$

5. Разделим обе части на $a$, чтобы получить окончательный канонический вид:

$\left(x - \left(-\frac{b}{2a}\right)\right)^2 = \frac{1}{a}\left(y - \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$

Сравнивая полученное уравнение с канонической формой $(x - h)^2 = 4p(y - k)$, мы определяем параметры параболы:

Координаты вершины $(h, k)$: $h = -\frac{b}{2a}$, $k = \frac{4ac - b^2}{4a}$.

Фокальный параметр $p$: из соотношения $4p = \frac{1}{a}$ следует, что $p = \frac{1}{4a}$.

Теперь мы можем найти искомые элементы параболы.

Уравнение директрисы этой параболы

Директриса параболы с вертикальной осью симметрии является горизонтальной прямой, которая задается уравнением $y = k - p$. Подставляем найденные значения для $k$ и $p$:

$y = \frac{4ac - b^2}{4a} - \frac{1}{4a}$

Объединив дроби, получаем окончательное уравнение директрисы:

$y = \frac{4ac - b^2 - 1}{4a}$

Ответ: $y = \frac{4ac - b^2 - 1}{4a}$

Координаты её фокуса

Фокус параболы с вертикальной осью симметрии находится в точке с координатами $(h, k+p)$. Подставляем найденные значения для $h$, $k$ и $p$:

Абсцисса фокуса: $x_F = h = -\frac{b}{2a}$

Ордината фокуса: $y_F = k + p = \frac{4ac - b^2}{4a} + \frac{1}{4a} = \frac{4ac - b^2 + 1}{4a}$

Таким образом, фокус находится в точке с данными координатами.

Ответ: $(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2 + 1}{4a})$