Номер 865, страница 228 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

865. Исследуйте взаимное расположение эллипса x²16 + y²4= 1 и: а) окружности радиуса 7 с центром в начале координат; б) окружности радиуса 2 с центром в точке (2; 0).

а)

Для исследования взаимного расположения эллипса и окружности необходимо найти их точки пересечения. Для этого решим систему уравнений, состоящую из уравнения эллипса и уравнения окружности.

Уравнение эллипса: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$.

Уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{7}$ имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$, то есть $x^2 + y^2 = 7$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 \\ x^2 + y^2 = 7 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y^2$: $y^2 = 7 - x^2$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{x^2}{16} + \frac{7 - x^2}{4} = 1$

Умножим обе части уравнения на 16, чтобы избавиться от знаменателей:

$x^2 + 4(7 - x^2) = 16$

$x^2 + 28 - 4x^2 = 16$

$-3x^2 = 16 - 28$

$-3x^2 = -12$

$x^2 = 4$

Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $y^2 = 7 - x^2$.

Так как $x^2 = 4$ для обоих значений $x$, получаем:

$y^2 = 7 - 4 = 3$

Отсюда $y_1 = \sqrt{3}$ и $y_2 = -\sqrt{3}$.

Таким образом, мы получили четыре точки пересечения:

$(2, \sqrt{3})$, $(2, -\sqrt{3})$, $(-2, \sqrt{3})$, $(-2, -\sqrt{3})$.

Поскольку система имеет четыре различных действительных решения, эллипс и окружность пересекаются в четырех точках.

Ответ: Эллипс и окружность пересекаются в четырех точках.

б)

Исследуем взаимное расположение эллипса и второй окружности.

Уравнение эллипса: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$.

Уравнение окружности с центром в точке (2, 0) и радиусом $R = 2$ имеет вид $(x-2)^2 + (y-0)^2 = 2^2$, то есть $(x-2)^2 + y^2 = 4$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 \\ (x-2)^2 + y^2 = 4 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y^2$: $y^2 = 4 - (x-2)^2$. Раскроем скобки: $y^2 = 4 - (x^2 - 4x + 4) = 4 - x^2 + 4x - 4 = 4x - x^2$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{x^2}{16} + \frac{4x - x^2}{4} = 1$

Умножим обе части уравнения на 16:

$x^2 + 4(4x - x^2) = 16$

$x^2 + 16x - 4x^2 = 16$

$-3x^2 + 16x - 16 = 0$

$3x^2 - 16x + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 256 - 192 = 64 = 8^2$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя уравнение $y^2 = 4x - x^2$.

Для $x_1 = 4$:

$y^2 = 4(4) - 4^2 = 16 - 16 = 0$. Отсюда $y=0$. Получаем точку $(4, 0)$.

Для $x_2 = \frac{4}{3}$:

$y^2 = 4\left(\frac{4}{3}\right) - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{3} - \frac{16}{9} = \frac{48 - 16}{9} = \frac{32}{9}$. Отсюда $y = \pm\sqrt{\frac{32}{9}} = \pm\frac{4\sqrt{2}}{3}$. Получаем две точки: $(\frac{4}{3}, \frac{4\sqrt{2}}{3})$ и $(\frac{4}{3}, -\frac{4\sqrt{2}}{3})$.

Всего мы получили три различные точки пересечения. Точка $(4, 0)$ является общей точкой, в которой кривые касаются друг друга (это правая вершина эллипса). Две другие точки $(\frac{4}{3}, \pm\frac{4\sqrt{2}}{3})$ являются точками пересечения.

Ответ: Эллипс и окружность пересекаются в двух точках и касаются в одной точке.