Номер 864, страница 228 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

864. Исследуйте взаимное расположение эллипса x²9+ y²4= 1 и прямой, проходящей через точки с координатами (1; −1) и (3; 1).

Для того чтобы исследовать взаимное расположение эллипса и прямой, необходимо сначала найти уравнение этой прямой, а затем определить количество общих точек у прямой и эллипса, решив систему уравнений.

1. Нахождение уравнения прямой

Найдем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $A(1; -1)$ и $B(3; 1)$. Воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $

Подставим координаты точек $A$ и $B$ в эту формулу: $ \frac{x - 1}{3 - 1} = \frac{y - (-1)}{1 - (-1)} $ $ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{2} $

Умножим обе части уравнения на 2: $ x - 1 = y + 1 $ Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом: $ y = x - 2 $

Ответ: Уравнение прямой: $ y = x - 2 $.

2. Нахождение точек пересечения эллипса и прямой

Теперь найдем точки пересечения эллипса $ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 $ и прямой $ y = x - 2 $. Для этого решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \\ y = x - 2 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое: $ \frac{x^2}{9} + \frac{(x - 2)^2}{4} = 1 $

Чтобы избавиться от дробей, умножим все уравнение на наименьший общий знаменатель, равный 36: $ 36 \cdot \frac{x^2}{9} + 36 \cdot \frac{(x - 2)^2}{4} = 36 \cdot 1 $ $ 4x^2 + 9(x - 2)^2 = 36 $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $ 4x^2 + 9(x^2 - 4x + 4) = 36 $ $ 4x^2 + 9x^2 - 36x + 36 = 36 $ $ 13x^2 - 36x = 0 $

Мы получили неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся $x$ за скобку: $ x(13x - 36) = 0 $ Это уравнение имеет два различных действительных корня: $ x_1 = 0 $ $ 13x - 36 = 0 \implies 13x = 36 \implies x_2 = \frac{36}{13} $

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение прямой $y = x - 2$:

• При $x_1 = 0$, $ y_1 = 0 - 2 = -2 $. Первая точка пересечения: $(0; -2)$.
• При $x_2 = \frac{36}{13}$, $ y_2 = \frac{36}{13} - 2 = \frac{36}{13} - \frac{26}{13} = \frac{10}{13} $. Вторая точка пересечения: $(\frac{36}{13}; \frac{10}{13})$.

Ответ: Прямая пересекает эллипс в двух точках с координатами $(0; -2)$ и $(\frac{36}{13}; \frac{10}{13})$.

3. Вывод о взаимном расположении

Поскольку система уравнений, составленная из уравнений эллипса и прямой, имеет два различных действительных решения, это означает, что прямая и эллипс имеют две общие точки. Прямая, имеющая с эллипсом две общие точки, называется секущей.

Ответ: Прямая, проходящая через точки $(1; -1)$ и $(3; 1)$, является секущей для эллипса $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ и пересекает его в двух точках: $(0; -2)$ и $(\frac{36}{13}; \frac{10}{13})$.