Номер 859, страница 219 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

859. На стороне ВС треугольника АВС отмечены точки А₁ и А₂, симметричные относительно середины ВС, а на сторонах АС и АВ отмечены соответственно точки В₁, В₂ и С₁, С₂, симметричные относительно середин этих сторон. Докажите, что отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки АА₂, ВВ₂ и СС₂ пересекаются в одной точке.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Чевы.

Доказательство:

Теорема Чевы утверждает, что отрезки (чевианы) $AA'$, $BB'$ и $CC'$, где точки $A'$, $B'$, $C'$ лежат на сторонах $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется следующее соотношение:

$$ \frac{BA'}{A'C} \cdot \frac{CB'}{B'A} \cdot \frac{AC'}{C'B} = 1 $$

1. Условие для отрезков $AA_1, BB_1, CC_1$

Согласно теореме Чевы, отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда:

$$ K_1 = \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = 1 \quad (1) $$

2. Условие для отрезков $AA_2, BB_2, CC_2$

Аналогично, отрезки $AA_2$, $BB_2$ и $CC_2$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда:

$$ K_2 = \frac{BA_2}{A_2C} \cdot \frac{CB_2}{B_2A} \cdot \frac{AC_2}{C_2B} = 1 \quad (2) $$

3. Связь между условиями

Рассмотрим соотношения длин отрезков, исходя из условия симметрии.

• Точки $A_1$ и $A_2$ симметричны относительно середины стороны $BC$. Это означает, что расстояние от $B$ до $A_1$ равно расстоянию от $C$ до $A_2$, и расстояние от $A_1$ до $C$ равно расстоянию от $B$ до $A_2$. То есть:

  $BA_1 = CA_2$ и $A_1C = BA_2$.

  Отсюда следует, что $\frac{BA_2}{A_2C} = \frac{A_1C}{BA_1} = \left(\frac{BA_1}{A_1C}\right)^{-1}$.

• Точки $B_1$ и $B_2$ симметричны относительно середины стороны $AC$. Аналогично получаем:

  $CB_1 = AB_2$ и $B_1A = CB_2$.

  Отсюда следует, что $\frac{CB_2}{B_2A} = \frac{B_1A}{AB_2} = \frac{B_1A}{CB_1} = \left(\frac{CB_1}{B_1A}\right)^{-1}$.

• Точки $C_1$ и $C_2$ симметричны относительно середины стороны $AB$. Аналогично получаем:

  $AC_1 = BC_2$ и $C_1B = AC_2$.

  Отсюда следует, что $\frac{AC_2}{C_2B} = \frac{C_1B}{BC_2} = \frac{C_1B}{AC_1} = \left(\frac{AC_1}{C_1B}\right)^{-1}$.

Теперь подставим эти соотношения в выражение для $K_2$:

$$ K_2 = \frac{BA_2}{A_2C} \cdot \frac{CB_2}{B_2A} \cdot \frac{AC_2}{C_2B} = \left(\frac{BA_1}{A_1C}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{CB_1}{B_1A}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{AC_1}{C_1B}\right)^{-1} $$

$$ K_2 = \left( \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} \right)^{-1} = (K_1)^{-1} = \frac{1}{K_1} $$

Мы получили, что $K_2 = \frac{1}{K_1}$.

Таким образом, если отрезки $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке, то $K_1 = 1$. Из этого следует, что $K_2 = \frac{1}{1} = 1$, а значит, отрезки $AA_2, BB_2, CC_2$ также пересекаются в одной точке.

И наоборот, если отрезки $AA_2, BB_2, CC_2$ пересекаются в одной точке, то $K_2 = 1$. Из этого следует, что $K_1 = \frac{1}{K_2} = \frac{1}{1} = 1$, а значит, отрезки $AA_1, BB_1, CC_1$ также пересекаются в одной точке.

Следовательно, оба условия выполняются или не выполняются одновременно.

Ответ: Что и требовалось доказать.