Номер 853, страница 218 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

853. На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС или их продолжениях отмечены соответственно точки А₁, В₁ и С₁, лежащие на одной прямой. Докажите, что точки А₂, В₂ и С₂, симметричные соответственно точкам А₁, В₁ и С₁ относительно середин сторон ВС, СА и АВ, также лежат на одной прямой.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом в сочетании с теоремой Менелая.

Пусть $O$ — произвольная точка плоскости (начало координат). Обозначим радиус-векторы вершин треугольника $A, B, C$ как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ соответственно. Пусть $M_a, M_b, M_c$ — середины сторон $BC, CA, AB$. Их радиус-векторы равны:

$\vec{m}_a = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$, $\vec{m}_b = \frac{\vec{c}+\vec{a}}{2}$, $\vec{m}_c = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

Точка $A_1$ лежит на прямой $BC$, поэтому ее радиус-вектор $\vec{a_1}$ можно представить как аффинную комбинацию векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$: $\vec{a_1} = (1-t_a)\vec{b} + t_a\vec{c}$ для некоторого скалярного параметра $t_a$. Аналогично для точек $B_1$ на прямой $CA$ и $C_1$ на прямой $AB$:

$\vec{b_1} = (1-t_b)\vec{c} + t_b\vec{a}$

$\vec{c_1} = (1-t_c)\vec{a} + t_c\vec{b}$

где $t_b$ и $t_c$ — также скалярные параметры.

Точка $A_2$ симметрична точке $A_1$ относительно середины $M_a$ стороны $BC$. Это означает, что $M_a$ является серединой отрезка $A_1A_2$. В векторной форме это условие записывается как $\vec{m}_a = \frac{\vec{a_1}+\vec{a_2}}{2}$. Отсюда можно выразить радиус-вектор точки $A_2$:

$\vec{a_2} = 2\vec{m}_a - \vec{a_1} = 2 \left( \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} \right) - \vec{a_1} = \vec{b}+\vec{c} - \vec{a_1}$

Подставим в это равенство выражение для $\vec{a_1}$:

$\vec{a_2} = \vec{b}+\vec{c} - ((1-t_a)\vec{b} + t_a\vec{c}) = (1 - (1-t_a))\vec{b} + (1-t_a)\vec{c} = t_a\vec{b} + (1-t_a)\vec{c}$

Аналогично найдем радиус-векторы для точек $B_2$ и $C_2$:

$\vec{b_2} = 2\vec{m}_b - \vec{b_1} = \vec{c}+\vec{a} - \vec{b_1} = \vec{c}+\vec{a} - ((1-t_b)\vec{c} + t_b\vec{a}) = t_b\vec{c} + (1-t_b)\vec{a}$

$\vec{c_2} = 2\vec{m}_c - \vec{c_1} = \vec{a}+\vec{b} - \vec{c_1} = \vec{a}+\vec{b} - ((1-t_c)\vec{a} + t_c\vec{b}) = t_c\vec{a} + (1-t_c)\vec{b}$

По условию задачи, точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на одной прямой. Согласно теореме Менелая, это эквивалентно выполнению следующего равенства для отношений, в которых эти точки делят стороны треугольника (с учетом знака, то есть для ориентированных отрезков):

$\frac{\vec{BA_1}}{\vec{A_1C}} \cdot \frac{\vec{CB_1}}{\vec{B_1A}} \cdot \frac{\vec{AC_1}}{\vec{C_1B}} = 1$

Выразим эти отношения через параметры $t_a, t_b, t_c$.

Для точки $A_1$: $\vec{BA_1} = \vec{a_1} - \vec{b} = t_a(\vec{c}-\vec{b}) = t_a\vec{BC}$ и $\vec{A_1C} = \vec{c} - \vec{a_1} = (1-t_a)(\vec{c}-\vec{b}) = (1-t_a)\vec{BC}$. Отсюда $\frac{\vec{BA_1}}{\vec{A_1C}} = \frac{t_a}{1-t_a}$.

Аналогично, для точки $B_1$: $\frac{\vec{CB_1}}{\vec{B_1A}} = \frac{t_b}{1-t_b}$.

И для точки $C_1$: $\frac{\vec{AC_1}}{\vec{C_1B}} = \frac{t_c}{1-t_c}$.

Таким образом, условие коллинеарности точек $A_1, B_1, C_1$ принимает вид:

$\frac{t_a}{1-t_a} \cdot \frac{t_b}{1-t_b} \cdot \frac{t_c}{1-t_c} = 1$

Теперь проверим, выполняется ли условие теоремы Менелая для точек $A_2, B_2, C_2$. Для этого вычислим соответствующие отношения отрезков.

Для точки $A_2$: $\vec{BA_2} = \vec{a_2}-\vec{b} = (t_a-1)\vec{b} + (1-t_a)\vec{c} = (1-t_a)(\vec{c}-\vec{b}) = (1-t_a)\vec{BC}$ и $\vec{A_2C} = \vec{c}-\vec{a_2} = -t_a\vec{b} + t_a\vec{c} = t_a(\vec{c}-\vec{b}) = t_a\vec{BC}$. Отсюда $\frac{\vec{BA_2}}{\vec{A_2C}} = \frac{1-t_a}{t_a}$.

Аналогично, для точки $B_2$: $\frac{\vec{CB_2}}{\vec{B_2A}} = \frac{1-t_b}{t_b}$.

И для точки $C_2$: $\frac{\vec{AC_2}}{\vec{C_2B}} = \frac{1-t_c}{t_c}$.

Теперь найдем произведение этих отношений:

$\frac{\vec{BA_2}}{\vec{A_2C}} \cdot \frac{\vec{CB_2}}{\vec{B_2A}} \cdot \frac{\vec{AC_2}}{\vec{C_2B}} = \frac{1-t_a}{t_a} \cdot \frac{1-t_b}{t_b} \cdot \frac{1-t_c}{t_c}$

Это произведение является обратным к произведению для точек $A_1, B_1, C_1$:

$\frac{1-t_a}{t_a} \cdot \frac{1-t_b}{t_b} \cdot \frac{1-t_c}{t_c} = \left( \frac{t_a}{1-t_a} \cdot \frac{t_b}{1-t_b} \cdot \frac{t_c}{1-t_c} \right)^{-1}$

Поскольку мы установили, что произведение для коллинеарных точек $A_1, B_1, C_1$ равно 1, то и для $A_2, B_2, C_2$ получаем:

$\left(1\right)^{-1} = 1$

Так как для точек $A_2, B_2, C_2$ выполняется условие теоремы Менелая, то по обратной теореме Менелая эти точки лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Точки $A_2, B_2, C_2$ также лежат на одной прямой.