Номер 848, страница 213 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

848. Докажите, что: а) площадь S четырёхугольника со сторонами а, b, c, d, описанного около окружности, выражается формулой S = аbcd sinB + D2 б) если четырёхугольник со сторонами а, b, c, d является одновременно описанным и вписанным, то его площадь S выражается формулой S = аbcd

Рассмотрим произвольный выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$ и углами B и D. Его площадь $S$ можно найти как сумму площадей двух треугольников, на которые его разбивает диагональ AC:

$S = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2}ab \sin B + \frac{1}{2}cd \sin D$

Умножив обе части на 4, получим:

$4S = 2ab \sin B + 2cd \sin D$ (1)

Применим теорему косинусов для треугольников ABC и ADC к их общей стороне AC:

$AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos B$

$AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos D$

Приравнивая правые части, получаем:

$a^2 + b^2 - 2ab \cos B = c^2 + d^2 - 2cd \cos D$

Перегруппируем члены:

$a^2 + b^2 - c^2 - d^2 = 2ab \cos B - 2cd \cos D$ (2)

Возведём в квадрат уравнения (1) и (2) и сложим их:

$(4S)^2 + (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 = (2ab \sin B + 2cd \sin D)^2 + (2ab \cos B - 2cd \cos D)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$16S^2 + (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 = (4a^2b^2 \sin^2 B + 8abcd \sin B \sin D + 4c^2d^2 \sin^2 D) + (4a^2b^2 \cos^2 B - 8abcd \cos B \cos D + 4c^2d^2 \cos^2 D)$

Сгруппируем слагаемые:

$16S^2 + (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 = 4a^2b^2(\sin^2 B + \cos^2 B) + 4c^2d^2(\sin^2 D + \cos^2 D) - 8abcd(\cos B \cos D - \sin B \sin D)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу косинуса суммы $\cos(B+D) = \cos B \cos D - \sin B \sin D$, получим:

$16S^2 + (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 = 4a^2b^2 + 4c^2d^2 - 8abcd \cos(B+D)$ (3)

Это тождество (формула Бретшнайдера) верно для любого выпуклого четырёхугольника. Теперь используем свойство описанного четырёхугольника: суммы его противолежащих сторон равны.

$a + c = b + d$

Перенесём члены: $a - b = d - c$. Возведём обе части в квадрат:

$(a - b)^2 = (d - c)^2 \implies a^2 - 2ab + b^2 = d^2 - 2cd + c^2$

Отсюда выразим $a^2 + b^2 - c^2 - d^2$:

$a^2 + b^2 - c^2 - d^2 = 2ab - 2cd$

Подставим это выражение в тождество (3):

$16S^2 + (2ab - 2cd)^2 = 4a^2b^2 + 4c^2d^2 - 8abcd \cos(B+D)$

$16S^2 + 4a^2b^2 - 8abcd + 4c^2d^2 = 4a^2b^2 + 4c^2d^2 - 8abcd \cos(B+D)$

После сокращения одинаковых членов получаем:

$16S^2 - 8abcd = -8abcd \cos(B+D)$

$16S^2 = 8abcd - 8abcd \cos(B+D) = 8abcd(1 - \cos(B+D))$

Применим формулу понижения степени (или половинного угла) $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$. Полагая $2\alpha = B+D$, имеем:

$16S^2 = 8abcd \cdot (2\sin^2\frac{B+D}{2}) = 16abcd \sin^2\frac{B+D}{2}$

Разделим обе части на 16 и извлечём квадратный корень:

$S^2 = abcd \sin^2\frac{B+D}{2}$

$S = \sqrt{abcd} \sin\frac{B+D}{2}$

(Мы берём положительное значение корня, так как площадь $S$ и синус половины суммы углов выпуклого четырёхугольника неотрицательны).

Ответ: Формула $S=\sqrt{abcd} \sin\frac{B+D}{2}$ для площади описанного четырёхугольника доказана.

Из пункта а) мы знаем, что площадь четырёхугольника, описанного около окружности, выражается формулой:

$S = \sqrt{abcd} \sin\frac{B+D}{2}$

По условию, данный четырёхугольник является не только описанным, но и вписанным в окружность. Основное свойство вписанного четырёхугольника заключается в том, что сумма его противолежащих углов равна 180°.

$B + D = 180^\circ$

Подставим это значение в формулу площади:

$S = \sqrt{abcd} \sin\frac{180^\circ}{2} = \sqrt{abcd} \sin(90^\circ)$

Поскольку $\sin(90^\circ) = 1$, получаем:

$S = \sqrt{abcd} \cdot 1 = \sqrt{abcd}$

Это и есть искомая формула, известная как формула Брахмагупты для вписанно-описанного четырёхугольника.

Ответ: Формула $S=\sqrt{abcd}$ для площади четырёхугольника, который является одновременно описанным и вписанным, доказана.