Номер 845, страница 213 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

845. Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, называется вневписанной. Докажите, что: а) площадь S треугольника АВС выражается формулой S = rₐ (р − a), где rа — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ВС = а, р — полупериметр треугольника;

где r — радиус окружности, вписанной в треугольник, rᵃ, rᵇ, rᶜ — радиусы вневписанных окружностей.

а)

Пусть $O_a$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$ треугольника $ABC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Пусть стороны треугольника $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$. Радиус этой окружности равен $r_a$.

По определению, центр $O_a$ равноудален от прямых $BC$, $AB$ и $AC$. Расстояние от $O_a$ до каждой из этих прямых равно $r_a$.

Соединим центр $O_a$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$. Площадь треугольника $ABC$ ($S_{ABC}$) можно выразить через площади треугольников $O_aAB$, $O_aAC$ и $O_aBC$. Площадь четырехугольника $ABO_aC$ равна сумме площадей треугольников $ABC$ и $O_aBC$. Также она равна сумме площадей треугольников $O_aAB$ и $O_aAC$. $S_{ABC} + S_{O_aBC} = S_{O_aAB} + S_{O_aAC}$ Отсюда: $S_{ABC} = S_{O_aAB} + S_{O_aAC} - S_{O_aBC}$

Найдем площади этих треугольников. Высотой в каждом из них, проведенной из вершины $O_a$, является радиус $r_a$.

• Площадь $\triangle O_aAB$: основание $AB=c$, высота $r_a$. $S_{O_aAB} = \frac{1}{2} c \cdot r_a$.
• Площадь $\triangle O_aAC$: основание $AC=b$, высота $r_a$. $S_{O_aAC} = \frac{1}{2} b \cdot r_a$.
• Площадь $\triangle O_aBC$: основание $BC=a$, высота $r_a$. $S_{O_aBC} = \frac{1}{2} a \cdot r_a$.

Подставим эти выражения в формулу для площади $S_{ABC}$ (обозначим ее просто $S$): $S = \frac{1}{2} c r_a + \frac{1}{2} b r_a - \frac{1}{2} a r_a = \frac{1}{2} r_a (c+b-a)$

По определению, полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$. Отсюда $a+b+c=2p$, и $b+c = 2p-a$. Подставим это в наше выражение для площади: $b+c-a = (2p-a) - a = 2p - 2a = 2(p-a)$

Теперь подставим это в формулу для площади $S$: $S = \frac{1}{2} r_a \cdot 2(p-a) = r_a (p-a)$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $S=r_a(p-a)$ доказана.

б)

Для доказательства воспользуемся известными формулами для площади треугольника:

1. $S = pr$, где $r$ — радиус вписанной окружности, $p$ — полупериметр.
2. $S = r_a(p-a)$, $S = r_b(p-b)$, $S = r_c(p-c)$, где $r_a, r_b, r_c$ — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон $a, b, c$ соответственно.
3. Формула Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Сначала докажем равенство $\frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} = \frac{1}{r}$. Из формул выше выразим обратные величины радиусов: $\frac{1}{r} = \frac{p}{S}$ $\frac{1}{r_a} = \frac{p-a}{S}$ $\frac{1}{r_b} = \frac{p-b}{S}$ $\frac{1}{r_c} = \frac{p-c}{S}$

Теперь сложим обратные величины радиусов вневписанных окружностей: $\frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} = \frac{p-a}{S} + \frac{p-b}{S} + \frac{p-c}{S} = \frac{(p-a) + (p-b) + (p-c)}{S}$ $\frac{3p - (a+b+c)}{S}$ Так как $a+b+c = 2p$, получаем: $\frac{3p - 2p}{S} = \frac{p}{S}$ А поскольку $\frac{p}{S} = \frac{1}{r}$, то мы доказали, что $\frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} = \frac{1}{r}$.

Теперь докажем вторую формулу: $S = \sqrt{rr_ar_br_c}$. Перемножим выражения для радиусов $r, r_a, r_b, r_c$: $rr_ar_br_c = \frac{S}{p} \cdot \frac{S}{p-a} \cdot \frac{S}{p-b} \cdot \frac{S}{p-c} = \frac{S^4}{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Согласно формуле Герона, $S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)$. Подставим это выражение в знаменатель нашей дроби: $rr_ar_br_c = \frac{S^4}{S^2} = S^2$

Итак, мы получили $S^2 = rr_ar_br_c$. Поскольку площадь $S$ — величина положительная, извлекая квадратный корень, получаем: $S = \sqrt{rr_ar_br_c}$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенства $S = \sqrt{rr_ar_br_c}$ и $\frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} = \frac{1}{r}$ доказаны.