Номер 839, страница 212 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

839. Докажите, что произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, проведённой к третьей стороне, на диаметр описанной окружности.

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон, противолежащих вершинам $A$, $B$ и $C$, как $a$, $b$ и $c$ соответственно (то есть, $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$). Пусть $h_c$ — высота, проведённая из вершины $C$ к стороне $AB$. Пусть $R$ — радиус описанной около треугольника окружности, а $2R$ — её диаметр.

Нам необходимо доказать, что произведение двух сторон, например $AC$ и $BC$, равно произведению высоты, проведённой к третьей стороне $AB$, на диаметр описанной окружности. Иными словами, мы доказываем следующее равенство: $a \cdot b = h_c \cdot 2R$.

Для доказательства выполним дополнительное построение. Проведём из вершины $C$ диаметр описанной окружности $CD$. Точка $D$ будет лежать на той же окружности. Длина отрезка $CD$ равна $2R$. Соединим точку $D$ с вершиной $B$.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ACH$ (где $H$ — основание высоты $CH=h_c$ на стороне $AB$) и $\triangle DCB$.

1. Треугольник $\triangle ACH$ является прямоугольным, так как $CH$ — высота по построению, следовательно, $\angle AHC = 90^\circ$.

2. Треугольник $\triangle DCB$ также является прямоугольным. Угол $\angle CBD$ — это вписанный угол, который опирается на диаметр $CD$. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, его величина равна $90^\circ$. Таким образом, $\angle CBD = 90^\circ$.

3. Вписанные углы $\angle CAB$ (или $\angle A$) и $\angle CDB$ (или $\angle D$) опираются на одну и ту же дугу $BC$. Следовательно, по теореме о вписанных углах, эти углы равны: $\angle CAB = \angle CDB$.

Поскольку у треугольников $\triangle ACH$ и $\triangle DCB$ есть две пары соответственно равных углов ($\angle AHC = \angle CBD = 90^\circ$ и $\angle HAC = \angle BDC$), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников $\triangle ACH \sim \triangle DCB$ следует пропорциональность их соответствующих сторон. Запишем отношение сторон, лежащих напротив равных углов:

$\frac{AC}{DC} = \frac{CH}{CB}$

Подставим в эту пропорцию обозначения длин отрезков: $AC=b$, $DC=2R$, $CH=h_c$ и $CB=a$.

$\frac{b}{2R} = \frac{h_c}{a}$

Применив основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$a \cdot b = h_c \cdot 2R$

Таким образом, мы доказали, что произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, проведённой к третьей стороне, на диаметр описанной окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.