Номер 834, страница 202 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

834. В трапецию АВСD с основаниями АВ и СD (АВ > СD) вписана окружность. Найдите площадь трапеции, если СD = а, DK = b и АK = d, где K — точка касания окружности и стороны АD.

Пусть $O$ — центр вписанной в трапецию $ABCD$ окружности, а $r$ — её радиус. Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r$.

Найдём высоту трапеции. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов трапеции. Рассмотрим углы при боковой стороне $AD$. Сумма углов $\angle DAB + \angle ADC = 180^\circ$, так как они являются внутренними односторонними при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AD$.

Поскольку $AO$ и $DO$ — биссектрисы углов $\angle DAB$ и $\angle ADC$ соответственно, то в треугольнике $AOD$ сумма углов $\angle OAD$ и $\angle ODA$ равна: $\angle OAD + \angle ODA = \frac{1}{2}\angle DAB + \frac{1}{2}\angle ADC = \frac{1}{2}(\angle DAB + \angle ADC) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $AOD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$ ($\angle AOD = 90^\circ$).

Отрезок $OK$, где $K$ — точка касания на стороне $AD$, является радиусом, проведенным в точку касания, а значит, $OK \perp AD$. Таким образом, $OK$ — это высота прямоугольного треугольника $AOD$, проведенная к гипотенузе $AD$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, её квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: $OK^2 = AK \cdot DK$.

По условию $AK = d$ и $DK = b$, поэтому $r^2 = d \cdot b$, откуда радиус $r = \sqrt{bd}$. Тогда высота трапеции $h = 2r = 2\sqrt{bd}$.

Найдём длины оснований трапеции для вычисления площади. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{AB+CD}{2} \cdot h$. Нам известна высота $h$ и основание $CD=a$. Необходимо найти длину основания $AB$.

Пусть окружность касается сторон $AB$, $BC$, $CD$ в точках $L, M, N$ соответственно. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, имеем:

• $AL = AK = d$
• $DN = DK = b$
• $CN = CM = x$ (обозначим)
• $BL = BM = y$ (обозначим)

Длина основания $CD$ равна сумме отрезков $DN$ и $NC$: $CD = DN + NC = b + x$. По условию $CD = a$, значит $a = b + x$, откуда $x = a - b$. Таким образом, $CM = a - b$.

Аналогично треугольнику $AOD$, рассмотрим треугольник $BOC$. Он также является прямоугольным, так как $\angle OBC + \angle OCB = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle BCD) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. $OM$ — это высота в прямоугольном треугольнике $BOC$, проведенная к гипотенузе $BC$, и $OM = r = \sqrt{bd}$. Следовательно, $OM^2 = CM \cdot BM$. $r^2 = x \cdot y$.

Подставляем известные значения: $(\sqrt{bd})^2 = (a-b) \cdot y$ $bd = (a-b)y$, откуда $y = \frac{bd}{a-b}$.

Теперь можем найти длину основания $AB$: $AB = AL + LB = d + y = d + \frac{bd}{a-b} = \frac{d(a-b) + bd}{a-b} = \frac{ad-bd+bd}{a-b} = \frac{ad}{a-b}$.

Вычислим площадь трапеции. $S_{ABCD} = \frac{AB+CD}{2} \cdot h = \frac{\frac{ad}{a-b} + a}{2} \cdot 2\sqrt{bd}$ $S_{ABCD} = \left( \frac{ad}{a-b} + a \right) \sqrt{bd} = \left( \frac{ad + a(a-b)}{a-b} \right) \sqrt{bd}$ $S_{ABCD} = \left( \frac{ad + a^2 - ab}{a-b} \right) \sqrt{bd} = \frac{a(d+a-b)}{a-b}\sqrt{bd}$.

Ответ: $ \frac{a(a-b+d)}{a-b}\sqrt{bd} $.