Номер 830, страница 202 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

830. На окружности даны четыре точки А, В, С и D в указанном порядке. Точка М — середина дуги АВ, K — точка пересечения хорд АВ и MD, Е — точка пересечения хорд АВ и МС. Докажите, что около четырёхугольника CDKE можно описать окружность.

Для того чтобы доказать, что около четырёхугольника $CDKE$ можно описать окружность, достаточно показать, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Докажем, что $\angle DCE + \angle DKE = 180^\circ$.

Рассмотрим углы, образованные пересечением хорд в исходной окружности. Точки $A, B, C, D$ лежат на окружности в указанном порядке. Точка $M$ — середина дуги $AB$, не содержащей точек $C$ и $D$. Это означает, что градусные меры дуг $AM$ и $MB$ равны: $\text{дуга } AM = \text{дуга } MB$.

1. Выразим угол $\angle DCE$ через дуги окружности.
Угол $\angle DCE$ совпадает с углом $\angle MCD$, так как точка $E$ лежит на отрезке $MC$. Угол $\angle MCD$ является вписанным в окружность и опирается на дугу $MD$. Его величина равна половине градусной меры этой дуги:
$\angle DCE = \angle MCD = \frac{1}{2} \text{дуги } MD$.
Дуга $MD$ состоит из дуг $MA$ и $AD$. Таким образом:
$\angle DCE = \frac{1}{2} (\text{дуга } MA + \text{дуга } AD)$.

2. Выразим угол $\angle DKE$ через дуги окружности.
Угол $\angle DKE$ является внутренним углом четырёхугольника $CDKE$. Он образован пересечением хорд $MD$ и $AB$ (так как точки $K$ и $E$ лежат на прямой $AB$).
Рассмотрим угол $\angle AKD$. Он является смежным с углом $\angle DKE$, поскольку точки $A, K, B$ лежат на одной прямой. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$:
$\angle DKE + \angle AKD = 180^\circ$.
Угол $\angle AKD$ — это угол между пересекающимися хордами $AB$ и $MD$. Его величина равна полусумме градусных мер дуг, которые он и вертикальный ему угол $\angle MKB$ высекают на окружности. Эти дуги — $AD$ и $MB$.
$\angle AKD = \frac{1}{2} (\text{дуга } AD + \text{дуга } MB)$.

3. Сравнение углов и завершение доказательства.
Мы получили следующие выражения для углов:
$\angle DCE = \frac{1}{2} (\text{дуга } MA + \text{дуга } AD)$
$\angle AKD = \frac{1}{2} (\text{дуга } AD + \text{дуга } MB)$
По условию, точка $M$ — середина дуги $AB$, поэтому $\text{дуга } MA = \text{дуга } MB$.
Следовательно, $\angle DCE = \angle AKD$.
Теперь подставим это равенство в соотношение для смежных углов:
$\angle DKE + \angle AKD = 180^\circ \implies \angle DKE + \angle DCE = 180^\circ$.
Мы доказали, что сумма противолежащих углов $\angle DKE$ и $\angle DCE$ четырёхугольника $CDKE$ равна $180^\circ$. Это является достаточным условием для того, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма противоположных углов $\angle DCE$ и $\angle DKE$ четырёхугольника $CDKE$ равна $180^\circ$, следовательно, около него можно описать окружность.