Номер 824, страница 201 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

824. Точки А, B, С и D лежат на одной окружности, луч ВD содержит биссектрису ВM треугольника АВС. Докажите, что ∠АМD = ∠ВАD.

По условию задачи, точки A, B, C и D лежат на одной окружности. Луч BD содержит биссектрису BM треугольника ABC, где точка M лежит на стороне AC. Это означает, что точки B, M, D коллинеарны (лежат на одной прямой), и прямая BD является биссектрисой угла $\angle ABC$. Точка M — это точка пересечения диагоналей AC и BD вписанного четырехугольника ABCD.

Наша цель — доказать равенство углов $\angle AMD$ и $\angle BAD$.

Рассмотрим треугольник ABM. Угол $\angle AMD$ является для него внешним углом при вершине M. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
$\angle AMD = \angle MAB + \angle ABM$

Так как точка M лежит на отрезках AC и BD, мы можем переписать углы в этом равенстве, используя вершины четырехугольника:
$\angle MAB$ — это тот же угол, что и $\angle CAB$.
$\angle ABM$ — это тот же угол, что и $\angle ABD$.
Таким образом, мы получаем первое ключевое соотношение:
$\angle AMD = \angle CAB + \angle ABD$ (1)

Теперь рассмотрим угол $\angle BAD$. Его можно представить в виде суммы двух углов:
$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$
Угол $\angle BAC$ — это тот же угол, что и $\angle CAB$. Следовательно, мы получаем второе ключевое соотношение:
$\angle BAD = \angle CAB + \angle CAD$ (2)

Сравнивая выражения (1) и (2), мы видим, что для доказательства равенства $\angle AMD = \angle BAD$ нам нужно доказать, что $\angle ABD = \angle CAD$.

Докажем это равенство. По условию, прямая BD является биссектрисой угла $\angle ABC$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла:
$\angle ABD = \angle CBD$

Теперь обратим внимание на углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$. Оба этих угла являются вписанными в окружность. Угол $\angle CAD$ и угол $\angle CBD$ опираются на одну и ту же дугу CD.
По теореме о вписанных углах, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Значит:
$\angle CAD = \angle CBD$

Итак, мы установили два факта:
1) $\angle ABD = \angle CBD$ (так как BD - биссектриса)
2) $\angle CAD = \angle CBD$ (как вписанные углы, опирающиеся на дугу CD)
Из этих двух равенств следует, что $\angle ABD = \angle CAD$.

Теперь мы можем завершить наше доказательство. Подставим установленное равенство $\angle ABD = \angle CAD$ в соотношения (1) и (2):
(1) $\angle AMD = \angle CAB + \angle ABD$
(2) $\angle BAD = \angle CAB + \angle CAD$
Поскольку $\angle ABD = \angle CAD$, правые части этих выражений равны. Следовательно, равны и левые части:
$\angle AMD = \angle BAD$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $\angle AMD = \angle BAD$, доказано.