Номер 821, страница 201 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

821. Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и две прямые, пересекающиеся в точке $P$, которая не лежит на окружности. Пусть первая прямая пересекает окружность в точках $A$ и $B$, а вторая — в точках $C$ и $D$. Таким образом, $AB$ и $CD$ — это хорды окружности. По условию задачи, длины этих хорд равны: $AB = CD$.

Требуется доказать, что расстояния от точки $P$ до концов хорд $AB$ и $CD$ соответственно равны. Это означает, что необходимо доказать равенство отрезков $PA=PC$ и $PB=PD$ (при соответствующей нумерации концов хорд).

Для доказательства воспользуемся свойством равных хорд и проведем геометрические построения.

1. Расстояние от центра до равных хорд

Известно, что в одной окружности равные хорды равноудалены от ее центра. Опустим перпендикуляры из центра $O$ на хорды $AB$ и $CD$. Обозначим основания этих перпендикуляров как $M$ и $N$ соответственно. Таким образом, $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$. По свойству хорд, точка $M$ является серединой $AB$, а точка $N$ — серединой $CD$.

Поскольку хорды равны ($AB = CD$), то равны и их расстояния до центра:

$OM = ON$

2. Равенство треугольников

Рассмотрим треугольники $\triangle OMP$ и $\triangle ONP$.

• Они оба являются прямоугольными, так как $OM$ и $ON$ — перпендикуляры к прямым, на которых лежат точки $A, B, P$ и $C, D, P$. Следовательно, $\angle OMP = \angle ONP = 90^\circ$.
• Сторона $OP$ является их общей гипотенузой.
• Катеты $OM$ и $ON$ равны, как было показано в предыдущем пункте.

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету), $\triangle OMP \cong \triangle ONP$.

3. Следствия из равенства треугольников

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, равны катеты $PM$ и $PN$:

$PM = PN$

Кроме того, так как $M$ и $N$ — середины равных хорд $AB$ и $CD$, то их половины также равны:

$AM = MB = \frac{1}{2}AB$

$CN = ND = \frac{1}{2}CD$

Поскольку $AB = CD$, то $AM = CN$ и $MB = ND$.

4. Анализ расстояний

Рассмотрим два возможных случая расположения точки $P$.

Случай 1: Точка P лежит вне окружности.

В этом случае прямые являются секущими. Пусть точки на первой прямой расположены в порядке $P - A - B$, а на второй — в порядке $P - C - D$. Тогда расстояния от точки $P$ до концов хорд можно выразить следующим образом:

• $PA = PM - AM$
• $PB = PM + MB$
• $PC = PN - CN$
• $PD = PN + ND$

Используя полученные ранее равенства $PM = PN$ и $AM = CN$ (а также $MB = ND$), получаем:

• $PA = PM - AM = PN - CN = PC$
• $PB = PM + MB = PN + ND = PD$

Следовательно, $PA = PC$ и $PB = PD$.

Случай 2: Точка P лежит внутри окружности.

В этом случае точка $P$ лежит на самих хордах. Пусть порядок точек на первой прямой $A - P - B$, а на второй $C - P - D$. Расположение $P$ относительно середины $M$ может быть разным. Допустим, порядок точек $A - M - P - B$. В силу симметрии задачи (так как $\triangle OMP \cong \triangle ONP$), порядок на второй прямой будет $C - N - P - D$.

Расстояния от $P$ до концов хорд:

• $PA = AM + MP$
• $PB = MB - MP$
• $PC = CN + NP$
• $PD = ND - NP$

Используя равенства $PM = PN$, $AM = CN$ и $MB = ND$, получаем:

• $PA = AM + MP = CN + NP = PC$
• $PB = MB - MP = ND - NP = PD$

Таким образом, и в этом случае $PA = PC$ и $PB = PD$. Если бы точка $P$ находилась по другую сторону от $M$ (в порядке $A-P-M-B$), рассуждения были бы аналогичны и привели бы к тому же результату.

Ответ: В обоих случаях было показано, что расстояния от точки пересечения прямых до концов одной и другой хорды соответственно равны между собой. Что и требовалось доказать.