Номер 818, страница 201 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

818. Прямая АС — касательная к окружности с центром О₁, а прямая ВD — касательная к окружности с центром О₂ (рис. 208). Докажите, что:

а) Рассмотрим окружность с центром в точке $O_1$. Прямая $AC$ является касательной к этой окружности в точке $A$, а $AB$ — хорда, проведенная через точку касания. Согласно теореме об угле между касательной и хордой, величина угла, образованного касательной и хордой, равна половине дуги, стягиваемой этой хордой, и равна любому вписанному углу, опирающемуся на эту дугу. В данном случае, вписанным углом, опирающимся на дугу $AB$ в окружности с центром $O_1$, является угол $ADB$.
Следовательно, получаем равенство: $\angle CAB = \angle ADB$.

Теперь рассмотрим окружность с центром в точке $O_2$. Прямая $BD$ является касательной к этой окружности в точке $B$, а $AB$ — хорда. Аналогично предыдущему пункту, угол между касательной $BD$ и хордой $AB$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $AB$ в этой окружности, то есть углу $ACB$.
Следовательно, получаем второе равенство: $\angle DBA = \angle ACB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle DAB$ и $\triangle CBA$. Мы установили, что у них есть две пары соответственно равных углов:
1. $\angle ADB = \angle CAB$
2. $\angle ABD = \angle ACB$ (где $\angle ABD$ это то же самое, что и $\angle DBA$)

Поскольку сумма углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$, то если две пары углов у двух треугольников равны, то и третьи углы этих треугольников также равны между собой. То есть, $\angle DAB = \angle CBA$.

Углы $\angle DAB$ и $\angle CBA$ являются внутренними накрест лежащими углами при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. Так как эти углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) В пункте а) мы доказали, что треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BCA$ имеют три пары равных углов:
$\angle ADB = \angle BAC$
$\angle ABD = \angle BCA$
$\angle DAB = \angle CBA$

Это означает, что треугольники подобны по трем углам. Запишем соответствие вершин: вершине $A$ треугольника $\triangle ABD$ соответствует вершина $B$ треугольника $\triangle BCA$; вершине $B$ — вершина $C$; вершине $D$ — вершина $A$. Таким образом, $\triangle ABD \sim \triangle BCA$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон (стороны, лежащие против равных углов):
$\frac{AD}{AB} = \frac{BD}{AC} = \frac{AB}{BC}$

Рассмотрим первую и последнюю части этой пропорции:
$\frac{AD}{AB} = \frac{AB}{BC}$

Применяя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:
$AB \cdot AB = AD \cdot BC$
$AB^2 = AD \cdot BC$

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Воспользуемся полной пропорцией, полученной из подобия треугольников $\triangle ABD \sim \triangle BCA$ в пункте б):
$\frac{AD}{AB} = \frac{BD}{AC} = \frac{AB}{BC}$

Обозначим коэффициент подобия $k$. Тогда:
$k = \frac{BD}{AC}$ и $k = \frac{AD}{AB}$ и $k = \frac{AB}{BC}$.

Из первого равенства $k = \frac{BD}{AC}$ выразим отношение квадратов $BD^2 : AC^2$:
$\frac{BD^2}{AC^2} = k^2$

Теперь выразим $k^2$ через другие стороны. Из двух других равенств имеем:
$AD = k \cdot AB$
$AB = k \cdot BC$, откуда $BC = \frac{AB}{k}$

Найдем отношение $AD : BC$:
$\frac{AD}{BC} = \frac{k \cdot AB}{AB/k} = \frac{k \cdot AB \cdot k}{AB} = k^2$

Таким образом, мы получили, что $\frac{BD^2}{AC^2} = k^2$ и $\frac{AD}{BC} = k^2$.
Следовательно, $\frac{BD^2}{AC^2} = \frac{AD}{BC}$, или в другой записи $BD^2 : AC^2 = AD : BC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.