Номер 811, страница 193 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

811. В конус вписан шар. Докажите, что отношение объёмов конуса и шара равно отношению площадей полной поверхности конуса и сферы, являющейся границей шара.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, $H$ — его высота, $L$ — длина образующей. Пусть $r$ — радиус вписанного шара.

Требуется доказать, что выполняется следующее равенство: $$ \frac{V_{конуса}}{V_{шара}} = \frac{S_{полн. конуса}}{S_{сферы}} $$

Выразим объемы и площади поверхностей через введенные параметры:
1. Объем конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.
2. Объем шара: $V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3$.
3. Площадь полной поверхности конуса: $S_{полн. конуса} = S_{основания} + S_{боковой} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R(R+L)$.
4. Площадь поверхности сферы: $S_{сферы} = 4 \pi r^2$.

Найдем отношение объемов: $$ \frac{V_{конуса}}{V_{шара}} = \frac{\frac{1}{3} \pi R^2 H}{\frac{4}{3} \pi r^3} = \frac{R^2 H}{4 r^3} $$

Найдем отношение площадей поверхностей: $$ \frac{S_{полн. конуса}}{S_{сферы}} = \frac{\pi R(R+L)}{4 \pi r^2} = \frac{R(R+L)}{4 r^2} $$

Для доказательства исходного равенства необходимо установить, что правые части полученных выражений равны между собой: $$ \frac{R^2 H}{4 r^3} = \frac{R(R+L)}{4 r^2} $$ Сократив общие множители ($4r^2$ в знаменателе и $R$ в числителе, так как $R \ne 0$ и $r \ne 0$), получим эквивалентное соотношение, которое нам предстоит доказать: $$ RH = r(R+L) $$

Чтобы доказать это геометрическое соотношение, рассмотрим осевое сечение конуса со вписанным шаром. Сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Основание треугольника равно $2R$, высота — $H$, а боковые стороны — $L$. Радиус вписанной окружности равен $r$. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами:
1. Через основание и высоту: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot (\text{основание}) \cdot (\text{высота}) = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = RH$.
2. Через радиус вписанной окружности и полупериметр. Полупериметр $p$ треугольника равен: $$ p = \frac{2R + L + L}{2} = \frac{2(R+L)}{2} = R+L $$ Тогда площадь треугольника равна: $S_{\triangle} = p \cdot r = (R+L)r$.

Приравнивая два выражения для площади, мы получаем требуемое равенство: $$ RH = r(R+L) $$

Поскольку мы доказали, что $RH = r(R+L)$, то равенство $\frac{R^2 H}{4 r^3} = \frac{R(R+L)}{4 r^2}$ является верным. Следовательно, верно и исходное утверждение: $$ \frac{V_{конуса}}{V_{шара}} = \frac{S_{полн. конуса}}{S_{сферы}} $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано. Для конуса с радиусом основания $R$, высотой $H$ и образующей $L$, в который вписан шар радиуса $r$, выполняется геометрическое соотношение $RH = r(R+L)$. Подстановка этого соотношения в выражения для отношений объемов ($\frac{R^2 H}{4 r^3}$) и площадей поверхностей ($\frac{R(R+L)}{4 r^2}$) показывает их идентичность, что и доказывает утверждение задачи.