Номер 804, страница 192 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

804. Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объёмы которых равны.

Доказательство:

Пусть дан тетраэдр $ABCD$. Пусть $M$ — середина ребра $CD$, которое является противоположным (скрещивающимся) ребру $AB$. Рассмотрим плоскость, проходящую через ребро $AB$ и точку $M$.

Эта плоскость разделяет тетраэдр $ABCD$ на два меньших тетраэдра: $ABCM$ (с вершинами $A, B, C, M$) и $ABDM$ (с вершинами $A, B, D, M$). Нам необходимо доказать, что объемы этих двух тетраэдров равны.

Объем тетраэдра вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота, опущенная на это основание.

Рассмотрим эти два тетраэдра, выбрав в качестве их общей вершины точку $B$, а в качестве оснований — треугольники $ACM$ и $ADM$ соответственно.

Оба основания, $\triangle ACM$ и $\triangle ADM$, лежат в одной и той же плоскости — в плоскости грани $ACD$. Следовательно, высоты этих двух тетраэдров, опущенные из их общей вершины $B$ на плоскость $ACD$, равны. Обозначим эту общую высоту как $h_B$.

Тогда объем тетраэдра $ABCM$ (который можно обозначить как $B-ACM$) равен $V_1 = \frac{1}{3} S_{ACM} \cdot h_B$.

А объем тетраэдра $ABDM$ (обозначение $B-ADM$) равен $V_2 = \frac{1}{3} S_{ADM} \cdot h_B$.

Для того чтобы доказать равенство объемов $V_1$ и $V_2$, нам достаточно доказать, что площади их оснований равны, то есть $S_{ACM} = S_{ADM}$.

Рассмотрим треугольники $ACM$ и $ADM$. Они лежат в плоскости грани $ACD$. В треугольнике $ACD$ отрезок $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой $M$ противолежащей стороны $CD$. Таким образом, $AM$ является медианой треугольника $ACD$.

Медиана треугольника делит его на два треугольника с равными площадями (равновеликих). Это происходит потому, что треугольники $ACM$ и $ADM$ имеют равные основания ($CM = DM$ по определению середины) и общую высоту, опущенную из вершины $A$ на прямую $CD$.

Следовательно, $S_{ACM} = S_{ADM}$.

Так как площади оснований $S_{ACM}$ и $S_{ADM}$ равны и высота $h_B$ у тетраэдров общая, то их объемы также равны:

$V_1 = \frac{1}{3} S_{ACM} \cdot h_B = \frac{1}{3} S_{ADM} \cdot h_B = V_2$.

Таким образом, мы доказали, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части равного объема.

Ответ: Утверждение доказано.