Номер 800, страница 192 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

800. На плоскости лежат четыре шара радиуса R, причём три из них попарно касаются друг друга, а четвёртый касается двух из них. На эти шары положены сверху два шара меньшего радиуса r, касающиеся друг друга, причём каждый из них касается трёх больших шаров. Найдите радиус маленьких шаров.

Для решения задачи введем трехмерную декартову систему координат. Пусть плоскость, на которой лежат большие шары, является плоскостью $Oxy$ ($z=0$). Так как радиус больших шаров равен $R$, центры этих шаров будут находиться на высоте $z=R$.

Обозначим центры четырех больших шаров как $C_1, C_2, C_3, C_4$. Три шара ($S_1, S_2, S_3$) попарно касаются друг друга. Это означает, что расстояние между их центрами ($C_1, C_2, C_3$) равно $2R$. Таким образом, центры $C_1, C_2, C_3$ образуют в пространстве равносторонний треугольник со стороной $2R$. Проекции этих центров на плоскость $z=0$ также образуют равносторонний треугольник со стороной $2R$.

Четвертый шар ($S_4$) касается двух из них, например $S_2$ и $S_3$. Это означает, что расстояния $C_4C_2$ и $C_4C_3$ также равны $2R$. Следовательно, проекции центров четырех шаров на плоскость $z=0$ образуют ромб, состоящий из двух равносторонних треугольников со стороной $2R$.

Разместим центры проекций на плоскости $Oxy$ следующим образом. Пусть точка пересечения диагоналей ромба находится в начале координат $(0,0,0)$. Высота равностороннего треугольника со стороной $2R$ равна $\sqrt{(2R)^2 - R^2} = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$. Тогда координаты проекций центров на плоскость $z=0$ будут:

• Проекция $C_1$: $P_1 = (0, R\sqrt{3}, 0)$
• Проекция $C_2$: $P_2 = (-R, 0, 0)$
• Проекция $C_3$: $P_3 = (R, 0, 0)$
• Проекция $C_4$: $P_4 = (0, -R\sqrt{3}, 0)$

Соответственно, координаты центров больших шаров:

• $C_1 = (0, R\sqrt{3}, R)$
• $C_2 = (-R, 0, R)$
• $C_3 = (R, 0, R)$
• $C_4 = (0, -R\sqrt{3}, R)$

Два маленьких шара радиуса $r$ лежат сверху. Обозначим их центры как $c_a$ и $c_b$. Каждый из них касается трех больших шаров. Естественно предположить, что один маленький шар ($s_a$) лежит в углублении, образованном шарами $S_1, S_2, S_3$, а второй ($s_b$) — в углублении, образованном шарами $S_4, S_2, S_3$.

Центр $c_a$ маленького шара $s_a$ должен быть равноудален от центров $C_1, C_2, C_3$. Это означает, что его проекция на плоскость $Oxy$ совпадает с центром описанной окружности (и центром тяжести) треугольника $P_1P_2P_3$. Координаты центра тяжести треугольника $P_1P_2P_3$ равны среднему арифметическому координат его вершин:$x_a = \frac{0 + (-R) + R}{3} = 0$$y_a = \frac{R\sqrt{3} + 0 + 0}{3} = \frac{R\sqrt{3}}{3}$

Аналогично, центр $c_b$ маленького шара $s_b$ равноудален от центров $C_4, C_2, C_3$. Его проекция на плоскость $Oxy$ совпадает с центром тяжести треугольника $P_4P_2P_3$:$x_b = \frac{0 + (-R) + R}{3} = 0$$y_b = \frac{-R\sqrt{3} + 0 + 0}{3} = -\frac{R\sqrt{3}}{3}$

Из симметрии задачи следует, что центры маленьких шаров $c_a$ и $c_b$ находятся на одной высоте $h$. Таким образом, их координаты:$c_a = (0, \frac{R\sqrt{3}}{3}, h)$$c_b = (0, -\frac{R\sqrt{3}}{3}, h)$

По условию, два маленьких шара касаются друг друга. Расстояние между их центрами $c_a$ и $c_b$ равно сумме их радиусов, то есть $r+r = 2r$. Вычислим это расстояние по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:$d(c_a, c_b) = \sqrt{(x_a-x_b)^2 + (y_a-y_b)^2 + (z_a-z_b)^2}$$2r = \sqrt{(0-0)^2 + \left(\frac{R\sqrt{3}}{3} - \left(-\frac{R\sqrt{3}}{3}\right)\right)^2 + (h-h)^2}$$2r = \sqrt{\left(\frac{2R\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$

Сокращая на 2, получаем выражение для радиуса $r$:$r = \frac{R\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $r = \frac{R\sqrt{3}}{3}$