Номер 802, страница 192 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

802. Плоскости AB₁C₁ и А₁ВС разбивают треугольную призму ABCА₁В₁С₁ на четыре части. Найдите отношение объёмов этих частей.

Пусть $V$ — объём призмы $ABCA_1B_1C_1$. Пусть $S$ — площадь основания $ABC$ (и $A_1B_1C_1$), а $h$ — высота призмы. Тогда объём призмы равен $V = S \cdot h$.

Рассмотрим, как каждая из плоскостей по отдельности рассекает призму.

1. Плоскость $A_1BC$ отсекает от призмы тетраэдр $T_1 = A_1ABC$. Основанием этого тетраэдра является основание призмы $ABC$ с площадью $S$, а вершиной — точка $A_1$. Высота этого тетраэдра, опущенная из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABC$, совпадает с высотой призмы $h$. Объём тетраэдра вычисляется по формуле $V_{тетр} = \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times \text{высота}$.Следовательно, объём тетраэдра $T_1$ равен:$V(T_1) = \frac{1}{3} S \cdot h = \frac{1}{3} V$.

2. Аналогично, плоскость $AB_1C_1$ отсекает от призмы тетраэдр $T_2 = AA_1B_1C_1$. Его основанием можно считать верхнее основание призмы $A_1B_1C_1$ с площадью $S$, а вершиной — точку $A$. Высота этого тетраэдра, опущенная из вершины $A$ на плоскость $A_1B_1C_1$, также равна высоте призмы $h$.Объём тетраэдра $T_2$ равен:$V(T_2) = \frac{1}{3} S \cdot h = \frac{1}{3} V$.

Две плоскости $A_1BC$ и $AB_1C_1$ пересекаются внутри призмы и делят её на четыре части. Эти четыре части можно определить через тетраэдры $T_1$ и $T_2$:

• Часть 1: Объём, принадлежащий только тетраэдру $T_1$, то есть $T_1 \setminus T_2$.
• Часть 2: Объём, принадлежащий только тетраэдру $T_2$, то есть $T_2 \setminus T_1$.
• Часть 3: Общая часть тетраэдров $T_1$ и $T_2$, то есть их пересечение $T_1 \cap T_2$.
• Часть 4: Оставшаяся часть призмы, не входящая ни в $T_1$, ни в $T_2$, то есть $V_{призмы} \setminus (T_1 \cup T_2)$.

Найдём объём пересечения тетраэдров $V(T_1 \cap T_2)$.Для этого введём векторную систему координат с началом в точке $A$. Обозначим векторы: $\vec{a} = \vec{AA_1}$, $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{c} = \vec{AC}$.Объём призмы выражается через смешанное произведение этих векторов: $V = \frac{1}{2} |(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}|$.

Пересечением тетраэдров $T_1 = A_1ABC$ и $T_2 = AA_1B_1C_1$ является тетраэдр $AA_1MN$, где $M$ — точка пересечения диагоналей $A_1B$ и $AB_1$ в грани $ABB_1A_1$, а $N$ — точка пересечения диагоналей $A_1C$ и $AC_1$ в грани $ACC_1A_1$. Точки $M$ и $N$ являются серединами соответствующих диагоналей.Выразим координаты вершин тетраэдра $AA_1MN$ через введённые векторы:

• $\vec{A} = \vec{0}$
• $\vec{A_1} = \vec{a}$
• $\vec{M} = \frac{1}{2}(\vec{A_1} + \vec{B}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$
• $\vec{N} = \frac{1}{2}(\vec{A_1} + \vec{C}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c})$

Объём тетраэдра $AA_1MN$ (обозначим его $V_3$) равен $V_3 = \frac{1}{6} |\vec{AA_1} \cdot (\vec{AM} \times \vec{AN})|$.$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$ и $\vec{AN} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c})$.Вычислим векторное произведение:$\vec{AM} \times \vec{AN} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + \vec{c}) = \frac{1}{4}(\vec{a}\times\vec{a} + \vec{a}\times\vec{c} + \vec{b}\times\vec{a} + \vec{b}\times\vec{c}) = \frac{1}{4}(\vec{a}\times\vec{c} - \vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{c})$.Теперь вычислим смешанное произведение:$\vec{AA_1} \cdot (\vec{AM} \times \vec{AN}) = \vec{a} \cdot \frac{1}{4}(\vec{a}\times\vec{c} - \vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{c}) = \frac{1}{4}(\vec{a}\cdot(\vec{a}\times\vec{c}) - \vec{a}\cdot(\vec{a}\times\vec{b}) + \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}))$.Так как смешанное произведение с двумя одинаковыми векторами равно нулю ($\vec{a}\cdot(\vec{a}\times\vec{c})=0$ и $\vec{a}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=0$), получаем:$\vec{AA_1} \cdot (\vec{AM} \times \vec{AN}) = \frac{1}{4}\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$.Тогда объём пересечения:$V_3 = V(T_1 \cap T_2) = \frac{1}{6} |\frac{1}{4}\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})| = \frac{1}{24} |\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})|$.Так как $V = \frac{1}{2} |\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})|$, то $|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})| = 2V$.Подставляя это в формулу для $V_3$, получаем:$V_3 = \frac{1}{24} (2V) = \frac{1}{12}V$.

Теперь мы можем найти объёмы всех четырёх частей:

• $V_1 = V(T_1 \setminus T_2) = V(T_1) - V(T_1 \cap T_2) = \frac{1}{3}V - \frac{1}{12}V = \frac{4-1}{12}V = \frac{3}{12}V = \frac{1}{4}V$.
• $V_2 = V(T_2 \setminus T_1) = V(T_2) - V(T_1 \cap T_2) = \frac{1}{3}V - \frac{1}{12}V = \frac{3}{12}V = \frac{1}{4}V$.
• $V_3 = V(T_1 \cap T_2) = \frac{1}{12}V$.
• $V_4 = V - (V_1 + V_2 + V_3) = V - (\frac{1}{4}V + \frac{1}{4}V + \frac{1}{12}V) = V - (\frac{3}{12}V + \frac{3}{12}V + \frac{1}{12}V) = V - \frac{7}{12}V = \frac{5}{12}V$.

Таким образом, объёмы четырёх частей относятся как:$V_1 : V_2 : V_3 : V_4 = \frac{1}{4}V : \frac{1}{4}V : \frac{1}{12}V : \frac{5}{12}V$.Умножив все части на 12, получим отношение в целых числах:$3 : 3 : 1 : 5$.

Ответ: Отношение объёмов этих частей равно $3:3:1:5$.